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Niveau Licence Maths 1e ann
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Equation différentielle d'ordre 21

Posté par
scoatarin 21-01-17 à 19:42

Bonsoir,

Pouvez-vous m'aider svp à résoudre l'exercice suivant :

On considère l'équation différentielle (E1) u" - 4 u' + 4u = 0, avec u(0) = u0 , u'(0) = u1 .

1. Soit u C2() une solution de (E1).

On pose X = \begin{pmatrix} u\\u' \end{pmatrix} .
Montrer que X est solution du système différentiel linéaire X' = AX, avec une matrice A M2() que l'on déterminera.

Posté par
etniopalre : Equation différentielle d'ordre 21 21-01-17 à 19:49

A part le faire à ta place , je ne vois pas ce qu'on pourrait faire .
As-tu au moins écrit la matrice X '  ?

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 21-01-17 à 20:23

X' = \begin{pmatrix} u'\\u'' \end{pmatrix}


Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 21-01-17 à 23:21

Salut scoatarin

Si A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}, est-ce compliqué d'écrire X' = AX et de voir si on peut pas identifier des coefficients ?

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 22-01-17 à 07:52

u" - 4 u' + 4u = 0 u"  =  4 u' - 4u

donc  X' = \begin{pmatrix} u'\\4u'-4u \end{pmatrix}

donc si A = \begin{pmatrix} a &b \\ c&d \end{pmatrix}

on peut écrire X' = AX avec :

A = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 4& -4 \end{pmatrix}

Posté par
alainpaulre : Equation différentielle d'ordre 21 22-01-17 à 12:15

Bon dimanche,


Je ne réponds pas  à l'énoncé selon la ligne suggérée.
Je partirais de  (y(x)e^{-2x})' , (y(x)e^{-2x})''


Alain

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 22-01-17 à 14:28

La question suivante est :
2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

Je trouve comme polynôme caractéristique de la matrice A :
PA(X) = (X-1) (X+4) donc les valeurs propres de la matrice A sont 1 et -4.
Ensuite , j'ai calculé les vecteurs propres et trouvé :
V1=(1;4/5) pour la valeur propre 1 et V2=(0;1) pour la valeur propre -4.
Merci de valider mes réponses pour que je puisse passer à la suite de l'exercice.

Posté par
carpediemre : Equation différentielle d'ordre 21 22-01-17 à 15:05

salut

on ne va pas valider ... et tu passes à la suite ...

un peu de sérieux pour une matrice 2 * 2 ...

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 22-01-17 à 15:33

3. Soit V un vecteur propre non nul de A, et soit e1 = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} le premier vecteur de la base canonique.

(a) Montrer que (V,e1) forment une base de ².
(b) Décomposer Ae1 dans la base (V,e1).
(c) En déduire que A = P \begin{pmatrix} \lambda &\mu \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} P-1,  pour une  matrice P GL2() et des réel , que l'on déterminera.

En réponse à la question 2. a):

On peux choisir V = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} car on a trouvé que ce vecteur est un vecteur propre de A à la question 2.

Les deux vecteurs V et e1 de ² sont non-nuls et visiblement linéairement indépendants, donc ils forment une base de ².

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 22-01-17 à 17:10

En réponse à la question 2. b):

Décomposons Ae1 dans la base (V,e1) :

A e1 = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 4/5&1 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\4/5 \end{pmatrix} = e1 + (4/5) V.

En réponse à la question 2. c):

Comme A e1 e1, la matrice A n'est pas diagonalisable.

P = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}

Ensuite, je ne sais pas comment justifier la décomposition de A.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 08:24

Bonjour à tous,

Merci de me répondre svp

Posté par
lakere : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 09:30

Bonjour,

Ta matrice A est fausse.

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 10:08

Oui, ce qui confirme le fait que tu te sois contredit en trouvant deux valeurs propres distinctes de ta matrice et d'affirmer qu'elle n'est pas diagonalisable !
La bonne matrice n'est effectivement pas diagonalisable et n'a donc pas deux vp distinctes faute de quoi le problème revient à calculer une simple exponentielle de matrice.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 10:15

Bonjour lake, merci bien de m'avoir remis sur les rails . Je reprends:

D'aprés la question 1, on a : A = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 4& -4 \end{pmatrix}.

Donc, on peut décomposer Ae1 dans la base (V,e1) :

A e1 = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 4&-4 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\4 \end{pmatrix} = e1 + 4 V.

En réponse à la question 2. c):
Comme A e1 e1, la matrice A n'est pas diagonalisable.

Ensuite, on  sait que  la matrice A est trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé, mais je ne sais pas comment justifier que c'est une matrice triangulaire supérieure.

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 10:49

Non, et je me suis palnté :

A = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 4& -4 \end{pmatrix}

det (A-XI) = X^2+4X-4

Les valeurs propres sont respectivement : X_0 = 2(\sqrt 2 -1) et X_1 = 2(\sqrt 2 +1)

Les espaces propres associés ont respectivement pour base : \{(1,X_0)\} et \{(1,X_1)\}

Donc A est bien diagonalisable contrairement à ce que j'ai dit.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 10:56

Je viens de trouver que comme la matrice A est trigonalisable, par définition, la forme de la matrice A trigonalisée est une matrice triangulaire supérieure.

Il reste donc à déterminer la matrice de passage P et les réels et .

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 10:57

Quelle matrice A du coup ?

Posté par
lakere : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 11:05

Citation :
A = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 4& -4 \end{pmatrix}


Toujours pas!

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 11:51

Alors par le détail :

(E1) : u'' - 4u' + 4u = 0

X = \begin{pmatrix} u\\u' \end{pmatrix}. X' = \begin{pmatrix} u'\\u'' \end{pmatrix}. A = \begin{pmatrix} a&b \\ c& d \end{pmatrix}.

X'=AX \Leftrightarrow \begin{pmatrix} u'\\u'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&b \\ c& d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u\\u' \end{pmatrix}

X'=AX \Leftrightarrow \begin{pmatrix} u'\\u'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} au+bu'\\cu+du' \end{pmatrix}

On identifie déjà a = 0 et b = 1.

On identifie ensuite u'' - cu - du' = 0 c'est-à-dire c = 4 et d = -4

A = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 4& -4 \end{pmatrix}

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 12:21

3. (b)  Décomposons Ae1 dans la base (V,e1) :

A e1 = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 4&-4 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix} =  4 V.

3. (c)

Comme A e1 = 4V e1, la matrice A n'est pas diagonalisable dans la base (V,e1).

Posté par
lakere : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 13:08

Mais c' est faux voyons!

Citation :
A = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 4& -4 \end{pmatrix}


Non!

A = \begin{pmatrix} 0&1 \\ -4& 4 \end{pmatrix}

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 13:23

On va y arriver :

3. (b)  Décomposons Ae1 dans la base (V,e1) :

A e1 = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -4&4 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-4 \end{pmatrix} .

donc dans la base(V,e1), on a : Ae1 = -4V.

3. (c)

Donc la matrice A n'est pas diagonalisable dans la base (V,e1).

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 14:38

lake @ 23-01-2017 à 13:08

Mais c' est faux voyons!

Le u et le u' inversé pfff ... je savais bien que je me faisais avoir avec une c**(biiip)** de ce genre !

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 15:47

Merci pour votre aide patiente.

Je ne sais franchement pas comment continuer.

Merci de m'aider encore.

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 16:13

Bon du coup, tu prends tout ce que je dis avec des pincettes.

Alors le polynôme caractéristique de la matrice est (X-2)^2. Donc, matrice non diagonalisable. Okay, on n'en parle plus.

Un vecteur propre non nul de A est alors  V =\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} (tu vérifies !)

A e1 = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -4&4 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-4 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b\\2b \end{pmatrix}

Tu tires a + b = 0 et b = -2 d'où A e_1 = 2 e_1 -2V

Ainsi, dans la base (V,e_1), Ae_1 a pour coordonnées (-2,2)

Par suite, tu formes la matrice de passage P avec les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base. A toi de voir dans quel sens.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 23-01-17 à 16:44

Super, merci beaucoup jsvdb.

Je continuerai demain, mais j'espère ne pas avoir un exercice aussi difficile à l'examen, sachant qu'il y a encore 3 questions après celle-là.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 24-01-17 à 11:41

Bonjour à tous,

J'ai bien essayé de trouver la matrice de passage P, mais je n'y arrive pas.

Pouvez-vous m'aider ?    

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 24-01-17 à 12:07

Alors, ça va être la bon moment de discuter de ce qu'est une matrice de passage.
Donc, qu'est-ce-qu'on appelle "matrice de passage", passage de quoi à quoi, au fait ?
Je dis ça, parce que c'est bien beau d'appliquer des recettes de cuisine, mais c'est quand même vachement plus kool si on comprend ce qu'on fait !

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 24-01-17 à 12:30

Je suis tout à fait d'accord avec toi

Soit B et B' deux bases de E. On appelle matrice de passage de la base B à la base B', la matrice P dont les coordonnées sont les composantes des vecteurs de la base B' dans la base B.

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 24-01-17 à 15:27

Pour être tout à fait précis :

On muni E de deux bases : B (appelée ci-après "ancienne base" composée des "anciens vecteurs"), et B' (ci-après dénommée "nouvelle base" composée des "nouveaux vecteurs") alors :

P_{B\rightarrow B'} est la matrice de l'identité Id : (E, B') \rightarrow (E, B), Id(x) = x. et donc, en vertu de la construction de la matrice d'une application P_{B\rightarrow B'} est composé des colonnes qui sont effectivement les coordonnées de chacun des nouveaux vecteurs dans l'ancienne base.

Tout n'est donc qu'une question de changement de base.

Application à la diagonalisation : là encore, il ne s'agit que d'un changement de base où A va avoir une autre expression, mais l'application qui se cache derrière A ne change pas.

Diagonaliser effectivement A, c'est trouver l'expression de A dans une autre base que celle où est exprimé A puis revenir à la base où est exprimé A.

On a trouvé les valeurs propres, et une nouvelle base de vecteurs propres. Dans cette nouvelle base Ax = kx pour tous les vecteurs de la nouvelle base. Oui, mais les autres ?

A est donc exprimé dans une base B. On note B' la base des vecteurs propres.

Alors, par définition P_{B\rightarrow B'} est la matrice de l'identité Id : (E, B') \rightarrow (E, B), Id(x) = x.. Par suite  P^{-1}_{B\rightarrow B'}=P_{B'\rightarrow B} est la matrice de l'identité Id : (E, B) \rightarrow (E, B'), Id(x) = x. et dans la base B', l'expression de A est diagonale. Donc, un x de E étant donné, il est exprimé dans B et on opère de la façon suivante :

1/ on calcule P^{-1}_{B\rightarrow B'}(x) qui est une photo de x mais exprimé dans B'

2/ on calcule D(P^{-1}_{B\rightarrow B'}(x)) qui est une photo de A(x) exprimé dans la base de vecteurs propres (B') et D la fameuse matrice diagonale avec les vp sur la diagonale.

3/ on calcule P_{B\rightarrow B'}(D(P^{-1}_{B\rightarrow B'}(x))) qui est le A(x) original, c'est-à-dire exprimé dans B.

Et par suite, ces opération étant vraies pour tout x de E, on A = PDP-1

C'est ça la diagonalisation.

Tu n'as plus qu'à appliquer le même schéma pour ton exercice de trigonalisation, ça marche de la même façon en faisant attention à ce que la ième colonne de P correspond l'expression du ième vecteur de B' exprimé dans B ... je dis ça juste pour tu prennes la bonne matrice triangulaire associée à la bonne matrice de passage

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 24-01-17 à 16:16

J'ai fini par trouver que P = \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 2&0 \end{pmatrix}
et = -2, mais je ne sais pas comment justifier l'ordre des 2 vecteurs colonnes de P.

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 24-01-17 à 17:10

D'après ce que j'ai écrit, P doit être une matrice de passage, donc quid de ses colonnes ? (la réponse est au début de mon post d'explication).
Peu importe l'ordre des colonnes tant que tu es cohérent par la suite.
Selon l'ordre des colonnes (et que parce qu'on est en dimension 2) tu auras une matrice triangulaire supérieure ou inférieure.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 24-01-17 à 17:36

scoatarin @ 22-01-2017 à 15:33

3. Soit V un vecteur propre non nul de A, et soit e1 = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} le premier vecteur de la base canonique.

(a) Montrer que (V,e1) forment une base de ².
(b) Décomposer Ae1 dans la base (V,e1).
(c) En déduire que A = P \begin{pmatrix} \lambda &\mu \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} P-1,  pour une  matrice P GL2() et des réel , que l'on déterminera.

Dans l'énoncé, on impose une matrice triangulaire supérieure, d'où ma question:

Comment choisir le bon ordre dans la matrice de passage P, une fois que les coordonnées des deux  colonnes sont connues ?  

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 24-01-17 à 23:47

Ha ha ha ha scoatarin, il se prend même plus la tête à demander qu'on bosse pour lui, il cite direct ...

Ta base d'origine est la base canonique B = \{e_1 = (1,0), e_2=(0,1)\}. Ta nouvelle base est B'=\{e'_1=(1,2), e'_2=(1,0)\} donc e'_1 = 1e_1 + 2e_2 et e'_2 = 1e_1 + 0e_2.

Ta matrice de passage est donc P= ~e'_1~~e'_2 \\ \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 2& 0 \end{pmatrix}\begin{matrix} e_1\\ e_2 \end{matrix}

Ensuite P^{-1}=\begin{pmatrix} 0 &1/2 \\ 1& -1/2 \end{pmatrix}

ensuite, comme Ae'_2 = \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}  dans la nouvelle base, tu détermines \mu en résolvant

\begin{pmatrix} 2 &\mu \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 &1/2 \\ 1& -1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}  et tu trouves effectivement \mu = -2

Du coup, retour au problème initial ... j'imagine !

X' = AX = PTP^{-1}X \Leftrightarrow P^{-1}X' = TP^{-1}X et on pose Y = P^{-1}X et le problème devient Y' = TY avec la condition initiale Y_0 = P^{-1}X_0 = P^{-1}\begin{pmatrix}u_0\\u_1\end{pmatrix}

La solution est donné par Y(t) = \exp(tT)Y_0, \forall t \in \R

T'as plus qu'à calculer  \exp(tT) en décomposant T = diag(2,2) + N et coup de bol diag(2,2) et N commutent, c'est plus pratique pour calculer une exponentielle de matrice

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 25-01-17 à 00:41

Je te dis ce que je trouve et tu vérifies si mes calculs sont bons :

X(t) = u_0\begin{pmatrix}1-2 t \\-4 t \end{pmatrix}e^{2t} + u_1\begin{pmatrix}t \\2t+1 \end{pmatrix}e^{2t}

On peut en tirer une base des solutions : \{t \mapsto te^{2t}; t \mapsto e^{2t}\} = \{t \mapsto (at+b)e^{2t}/ a, b \in \R\}

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 25-01-17 à 10:06

Bonjour jsvdb,

Un grand merci pour  toutes ces explications.
J'ai bien compris l'essentiel.
Tu as même anticipé la question suivante:

4. Calculer exp(At) pour tout t   (on pourra laisser l'expression finale sous la forme d'un produit de matrices).

J'aborderai cette question cette après-midi et te répondrai ensuite.

Bonne journée.



  

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 25-01-17 à 22:00

Bonsoir,

comme promis, je bosse:

\\ exp [ \begin{pmatrix} 2t &0 \\ 0&2t \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 &-2t \\ 0&0 \end{pmatrix}] = \\ exp  \begin{pmatrix} 2t &0 \\ 0&2t \end{pmatrix} X  exp \begin{pmatrix} 0 &-2t \\ 0&0 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}e^2^t &0 \\0&e^2^t \end{pmatrix} X\begin{pmatrix} 1 &-2t \\ 0&1 \end{pmatrix} =   \begin{pmatrix} e^2^t &-2te^2^t \\0& e^2^t \end{pmatrix}  

Donc pour tout t , on a :

  exp(At)=\begin{pmatrix} e^2^t &-2te^2^t \\0& e^2^t \end{pmatrix}

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 25-01-17 à 22:16

Je voulais dire  exp(At) = P T P-1 avec T la matrice indiquée pour exp(At) à la fin de mon message précédent

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 27-01-17 à 08:11

Bonjour,

J'aimerai savoir si ma réponse à la question 4 est juste.

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 27-01-17 à 09:01

Bonjour,
Oui, c'est Ok.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 27-01-17 à 09:39

Merci.

Les deux dernières questions sont dépendantes et je viens de réaliser que la question 5  permet de vérifier que le calcul de exp(At) de la question 4 est juste (sauf coquille d'énoncé ).

5. Soit x0 > 0, y0>0. Tracer la courbe paramétrée d'équation x = e2t (x0 - 2t0), y = e2ty0 , t .

6. En déduire l'allure du portrait de phase associé à (E1) lorsque P-1 \begin{pmatrix} u_{0}\\ u_{1} \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} x_{0}\\ y_{0} \end{pmatrix}, avec x0, y0 > 0.

Je viens juste d'avoir un cours et une séance de TD sur les courbes paramétrées,
et j'aimerai être guidé pour appliquer ces connaissances fraîchement acquises à cette fin d'exercice.

On m'a dit que le plan d'étude est le suivant:

. Domaine de définition
. symétries
. tableau de variations
. branches infinies  
. tracer la courbe

Si vous êtes d'accord , je me lance    
  

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 27-01-17 à 11:38

On est d'accord pour tout, c'est toi qui voit.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 27-01-17 à 13:37

Bonjour,

Voilà ce que j'ai fait pour la question 5:

. le domaine de définition est
. y(-t) y(t) donc pas de symétrie
. tableau des variations sur :
Je l'ai écris sur le papier.
Je ne sais pas retranscrire ce tableau de variations dans ce message.
Merci de me guider pour la retranscription.  

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 27-01-17 à 13:51

dans la fenêtre Latex, il y a une option qui s'appelle "tableau de variation" ....

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 27-01-17 à 16:27

\begin{array} {|c|cccccccc||} t & -\infty &                    0 &                                                            (1/2) ln(y0/x0) &                                                                         & +\infty & \\ \\ {x'(t)} & &   -   & -   + & \\ \\ {x(t)} &0 & \searrow & \searrow &\nearrow  &+\infty &\\             \\ {y'(t)} & & + &   + &  + & \\ \\ {y(t)} &0 & \nearrow & \nearrow &\nearrow & +\infty & \end{array}

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 28-01-17 à 16:37

Bonjour,

Merci de corriger mon tableau de variations si il comporte des erreurs.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 29-01-17 à 21:43

Bonsoir,

Pouvez-vous me dire si le tableau de variations conjoint pour répondre en partie à la question 5 est juste ?

Si en plus vous m"indiquer des erreurs, ce serait génial   

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 09:36

La fonction x \mapsto Ke^{px} pour K et p réels a la variation du signe de Kp (ce que ton tableau ne fait pas ressortir.) c'est-à-dire, est croissante si Kp est positive, décroissante sinon. Donc ton tableau est faux pour la fonction x.

Ici, p = 2.
Comme y0 > 0, oui, y est croissante.
Mais x(t) = (x0-2y0)e2t donc il faut plutôt faire un tableau en fonction de x0 et y0.

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 09:36

Et excuse pour la réponse un peu tardive, j'avais un poil décroché sur cet exo ! Désolé

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 10:23

Bonjour jsvdb,

Super, je me sentais un peu abandonné

J'ai compris que le tableau est faux pour la fonction x.

La question , maintenant, c'est : comment faire apparaître les bonnes valeurs dépendantes de x0 et y0 sur la première ligne du tableau de variations, sachant qu'on ne sait pas quel est le plus grand des deux nombres ?

    

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