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Equation différentielle d'un problème de mécanique classique.

Posté par
Sideway 16-07-18 à 20:39

Bonjour à tous et à toutes,

Je viens du forum ilephysique car mon post semble requérir une approche mathématique pour être résolu. Le problème est le suivant :

Soit v(t) la vitesse d'un avion, soit F(t) la force de poussée générée par les réacteurs (je simplifie beaucoup le problème, je balance juste l'équation pour pas vous casser le cerveau )

En gros, il faut que je résolve l'équation différentielle suivante, obtenue après application de la seconde loi de Newton à cet avion :

F(t) + k_{1} v(t)^{2} + k_{2} = mv'(t)

Equation simple au premier coup d'oeil, me direz-vous peut-être, mais détrompez-vous, je galère à la résoudre... à cause du domaine de définition.

Voici comment j'ai voulu procéder :

t \in \left[0,T \right]
\begin{cases} v(t=0) = 0 \\ v(t = T) = v_{T} \end{cases}

Je pose G(t) = \frac{F(t) + k_{2}}{m}

J'ai donc v'(t) - \frac{k_{1}}{m}v(t)^{2} = G(t)

J'me dis donc, ouais c'est cool ça va faire de l'arctan tout ça... maaaais, bah non en fait. Puisque ma vitesse peut s'annuler (et elle le fait car c'est ma condition de départ), je suis bloqué

Si vous avez une quelconque solution à ce problème, je vous en serai grandement reconnaissant =)

Bonne soirée !

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'un problème de mécanique classiqu 16-07-18 à 20:58

Bonjour Sideway.

La solution de l'équation homogène v' - av^2 = 0 est v(t) = -\dfrac{2}{at^2+K}.

Il te reste à trouver une solution particulière de l'équation v' - av^2 = G(t). Si G est un peu tordu, ça risque d'être compliqué.

Posté par
malou Webmasterre : Equation différentielle d'un problème de mécanique classiqu 16-07-18 à 20:58

Citation :
Je viens du forum ilephysique car mon post semble requérir une approche mathématique pour être résolu.

et c'est là :

Posté par
Sidewayre : Equation différentielle d'un problème de mécanique classiqu 16-07-18 à 21:06

Bonsoir,

Merci pour le temps que vous m'accordez (et oui, c'est bien "là" mon post sur ilephysique malou ).

Pourriez-vous m'expliquer comment vous avez obtenu ce résultat, jsvbd ?
Cela fait bien longtemps que je n'ai pas touché à ce genre d'équations et personnellement, je n'ai vu que la méthode "je mets tous les v du même côté et je primitive" pour résoudre le problème (ce qui est évidement faux dans mon cas puisque v peut s'annuler).

Pas besoin d'être trop précis, rassurez-vous, mais juste avoir la méthode m'aiderait à ne plus bloquer à l'avenir sur ce genre de problème !

Merci de votre attention.

Posté par
Sidewayre : Equation différentielle d'un problème de mécanique classiqu 16-07-18 à 21:16

J'édite car je me suis rendu compte d'un problème :

La solution que vous proposez ne rentre pas dans le domaine de définition que je souhaite.
En effet, je veux que ma vitesse soit nulle au départ, or v(t=0) = 0 = -\frac{2}{K}
est impossible. Se pourrait-il que je me sois planté dans mes équations ? Ou bien est-ce que ce problème n'est tout simplement pas résoluble ?

Cordialement,

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'un problème de mécanique classiqu 16-07-18 à 21:20

Laisse tomber, je raconte n'importe quoi !

Ton équation est de la forme a(t)y'(t) + b(t)y(t) = c(t)y^2(t) + d(t). C'est une équation de Riccati.

Cherche sur le net comment ça se résout !!!

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'un problème de mécanique classiqu 16-07-18 à 21:21

Par exemple

Posté par
Sidewayre : Equation différentielle d'un problème de mécanique classiqu 16-07-18 à 21:25

Je suis allé voir justement (je l'ai mentionné sur le post de l'ilephysique).
J'ai tenté de la résoudre seulement voilà : ne connaissant pas F(t), je suis complètement bloqué car je ne connais pas son expression.

Pour résoudre une équation de Riccati, il faut apparemment connaitre une solution particulière de l'équation, or je n'en ai pas

J'ai bien fait les calculs pour trouver la solution générale de l'équation homogène mais elle est juste affreuse :

Il s'agit de mon deuxième post ici : https://www.ilephysique.net/sujet-resolution-d-une-equation-differentielle-assez-complexe-301845.html#msg2447529

L'équation que je cherchais à résoudre était un peu différente mais c'était dans le même genre

Cordialement,

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'un problème de mécanique classiqu 16-07-18 à 22:36

L'équation homogène est v'(t) - \frac{k_{1}}{m}v(t)^{2} = 0 soit encore v'(t)v^{-2}(t) = \dfrac{k_{1}}{m}.

Il vient -\dfrac{1}{v(t)} = \dfrac{k_{1}t}{m} + C soit encore v(t) = -\dfrac{1}{\frac{k_{1}}{m}t + C} pour t \neq -\frac{mC}{k_1}.


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