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Equation différentielle du premier ordre
Bonsoir,
On me demande de trouver toutes les fonctions de R dans R, dérivables vérifiants pour tout (x,t) 
R2
f(x+t)=exf(t)+etf(x)
Donc j'ai procédé par analyse synthèse en dérivant dans un premier temps mon égalité par rapport à x. J'évalue ensuite en x=0 et j'obtiens l'equa diff du premier ordre suivante:
f'(t)-f(t)=f'(0)et
Donc j'ai fait comme si je résolvais une équation diff du premier ordre:
Je trouve comme solution de l'équation homogène: (avec C réelle)
f0(t)=Cet
Ensuite la solution particulière avec la variation de la constante:
f1(t)=f'(0)tet
Je reviens sur mon égalité en évaluant:
x=t=0 pour remarquer f(0)=2f(0) i.e f(0)=0 donc f'(0)=0
Donc je conclus en disant que les solutions de mon equa diff de départ sont de la forme:
f(t)=Cet
Or quand j'essaie de faire ma synthèse je n'arrive pas à quelque chose de juste, et je sais que la solution que je devrais trouver doit être Ctet !
Mais je ne vois pas où est mon erreur…
Merci pour votre aide.
Bonsoir Kekeee.
Je commencerais par un truc simple dans l'analyse : poser t = 0 dans l'égalité initiale ...
Oublie ma remarque ! Je croyais aboutir à une impossibilité.
Cela dit on voit quand même qu'on doit avoir f(0) = 0 (histoire de sauver la face)
En fait, tu es ramené à résoudre .
Le simple changement de variable aboutit très simplement à poser comme solution particulière
D'où la solution générale .
Oui.. tout ça je l'ai dit dans le message…
Mais le problème est que: comme f'(0)=0
On a: f(t)=Ket
Mais cette expression ne vérifie pas l'égalité de départ
Bonsoir carpediem oui je pense que c'est faisable aussi avec cette méthode… mais j'aimerai qu'on me guide sur la méthode que j'ai faite..
évalué en t = 0 donne que
qui donne que f'(0) peut être quelconque.
Donc alors
donne bien ce que l'on voulait.
Je résume :
ANALYSE :
On cherche toutes fonctions dérivables sur telles
pour tout
et
réels.
On dérive une première fois par rapport à x et on évalue en x = 0 : on obtient que pour tout réel t, on doit avoir
L'évaluation de cette dernière expression en force
et ne donne aucune contrainte sur
.
On est donc amené à résoudre l'équation différentielle archi basique fixé.
La solution générale de cette équation est où
.
La condition impose
.
il reste donc . On vérifie aisément que
.
SYNTHÈSE :
On vérifie que vérifie bien la condition
pour tout
.
CQFD.
Moi aussi 
, mais comme je suis aussi là pour répondre aux attentes :
Bonsoir carpediem oui je pense que c'est faisable aussi avec cette méthode [je confirme] … mais j'aimerai qu'on me guide sur la méthode que j'ai faite...
oui bien sûr !! et surtout pour corriger la grossière erreur de (raisonnement et de) calcul de recherche de f'(0) de Kekeee
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