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Niveau Maths sup
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Equation différentielle du premier ordre avec second membre

Posté par
marcellus
01-01-10 à 14:47

Bonjour et bonne année à tous !

Voici donc ma question :

Comment déterminer toutes les applications f de classe C1 sur ]1;+inf[ telles que :
Pour tout x appartenant à ]1;+inf[, x ln x f'(x) - f(x) = 1 ?

J'ai dit que c'était équivalent à l'équation f(x) - (1/x ln x) f(x) = 1/(x ln x).
Puis qu'une primitive de 1/(x ln x) sur l'intervalle considéré était ln(ln(x)).
Ensuite j'ai posé g telle que f(x) = g(x) e^[ln(ln(x))] = g(x) ln(x).
J'ai aussi g'(x) = 1/(x ln x) e^[-ln(ln(x))] = 1/(x (ln x)²).
Mais là je n'arrive pas à primitiver g' pour aboutir à f...

Merci de votre aide, et joyeuses fêtes !!

Posté par
milton
re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre 01-01-10 à 15:19

salut
(lnx-1)'=1/x

Posté par
marcellus
re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre 01-01-10 à 16:00

Salut Milton,
Cet indice doit m'aider dans quelle partie de mon raisonnement ?

Merci.

Posté par
milton
re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre 01-01-10 à 16:06

c'est une solution particuliere; lnx-1 et puisque tu  as deja resolut sans second membre il te suffit maintenant de sommer

Posté par
marcellus
re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre 01-01-10 à 16:14

D'accord milton. En ce qui concerne la résolution sans second membre je l'ai pas rédigée là (ou alors sans me rendre compte de ce que je faisais), mais je trouvais les fonctions du type k ln x, k réel.

Donc au final les solutions sont les fonctions de la forme : x k ln x - 1, k réel (sauf erreur).

Encore merci

Posté par
milton
re : Equation différentielle du premier ordre avec second membre 01-01-10 à 16:20

Citation :
Puis qu'une primitive de 1/(x ln x) sur l'intervalle considéré était ln(ln(x))

c'et de là que je me suis dis que c'etait resolu
de rein ;bonne année



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