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Niveau maths sup
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Equation différentielle et primitives

Posté par
QuentinDelon1
05-12-21 à 11:12

Bonjour, voici mon sujet :

On souhaite déterminer toutes les fonctions f : continues telles que :

t,f(t)=sin(t)+2x\int_{0}^{t}{e^{t-x}f(x)dx}

1. Soit f une fonction continue sur et telle que :

t,f(t)=sin(t)+2x\int_{0}^{t}{e^{t-x}f(x)dx}


a) Montrer que la fonction :t\int_{0}^{t}{e^{-x}f(x)dx} est dérivable sur et en  déduire que f est dérivable sur .

b) Vérifier que

t,f'(t)-3f(t)=cos(t)-sin(t)

c) Résoudre cette équation différentielle et en déduire une expression de f

2) Donner alors toutes les solutions du problèmes posé.

-----------------------------------------------------------------------------------

1)a) Ici j'ai donc utilisé le théorème fondamental de l'intégration si je ne me trompe pas !

b) J'en ai déduit que f'(t)=cos(t)+2f(t) car on veut la dérivée de cette primitive s'annulant en 0 ?

Mais ensuite je suis bloqué !

c) J'ai donc trouvé : f(t)=\lambda e^{3t}-\frac{1}{5}cos(t)+\frac{2}{5}sin(t), \lambda.

Mais comment en déduire f ? Je ne comprends pas ce que je dois chercher de plus à partir de l'expression de base ?


2) Pareil je ne vois pas où il faut en venir !

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 11:21

salut

qui est x ?

x apparait comme paramètre et comme variable (muette) d'intégration ... ce qui peut prêter à confusion ...

peux-tu détailler le calcule de f'(t) ? (le terme avec l'intégrale)

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 11:23

et donc donner la dériver de ...

Posté par
QuentinDelon1
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 11:24

ahhhhh Excusez moi !! j'ai mis "x" dans le sens de multiplication dans la console!

Je vous redonne l'expression de f(t) :

f(t)=sin(t)+2\int_{0}^{t}{e^{t-x}f(x)dx}

Posté par
QuentinDelon1
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 11:28

J'ai donc dis que \varphi '(t)=e^{-t}f(t)

et f'(t) = cos(t)+2*(e^{t-t}f(t))

J'ai pas l'impression que c'est ça ..

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 11:38

ben finis le calcul f'(t) = ... ?

puis calcule f'(t) - 3f(t) correctement ...

Posté par
QuentinDelon1
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 11:45

J'ai donc :

f'(t)=cos(t)-f(t)
=cos(t)-sin(t)-2e^{t}\varphi (t)

Comment je peux montrer que 2e^{t}\varphi (t) =0 ?

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 11:47

je ne comprends pas ...

QuentinDelon1 @ 05-12-2021 à 11:28


et f'(t) = cos(t)+2*(e^{t-t}f(t)) \red = \cos t + 2f(t) = \ ...  ?


puis f'(t) - 3f(t) = ... ?

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 11:56

il y a bien sûr une erreur :

f(t) = \sin t + 2\int_0^t e^{t - x} f(x) dx = \sin t + 2e^t\int_0^t e^{-x}f(x)dx

le deuxième terme est un produit et doit se dériver ainsi ...

Posté par
QuentinDelon1
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 12:00

Oui du coup si je fais plus attention à ce que j'écris....

QuentinDelon1 @ 05-12-2021 à 11:45

J'ai donc :

f'(t)-3f(t)=cos(t)-f(t)
=cos(t)-sin(t)-2e^{t}\varphi (t)

Posté par
QuentinDelon1
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 12:04

Ok j'ai compris mon erreur c'est bon  je retrouve bien ce qu'il fallait !

Posté par
QuentinDelon1
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 12:04

Que pensez de la question c) de ce fait  ?

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 12:09

ben en résolvant l'équation différentielle tu en as bien déduis les solutions !!!

vérifies en calculant \sin t + 2 \int_0^t e^{t - x} \left[ ke^{3x} - \dfrac 1 5 \cos x + \dfrac 2 5 \sin x \right] dx

Posté par
QuentinDelon1
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 12:19

Je suis entrain de calculer chacune des 3 intégrales,l'une est simple, les 2 autres demandent de faire intervenir des complexes, est ce vraiment ce que je dois obtenir ?

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 12:23

ben si tu ne t'es pas trompé tu dois évidemment retomber sur f(t) (trouvé en résolvant l'équation différentielle)

tu peux aussi faire une (double) IPP ...

Posté par
QuentinDelon1
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 12:36

bon ça fait un calcul gigantesque et j'ai pas l'impression que je vais reobtenir f(t) .. mais imaginons que ça le soit ?

Je ne comprends pas la finalité, on trouve f(x) avec l'équa diff,

on remplace et on trouve f(t).  Est-ce l'expression finale de f qu'il faille obtenir ou il y a une subtilité que je ne comprends pas

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 13:00

tu as trouvé les fonction f qui vérifient la relation

QuentinDelon1 @ 05-12-2021 à 11:24

tex]f(t)=sin(t)+2\int_{0}^{t}{e^{t-x}f(x)dx}[/tex]
en résolvant une ED ...

je t'ai simplement proposé de le vérifier ...

maintenant si tu ne t'es pas trompé ben c'est fini ...

Posté par
QuentinDelon1
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 13:02

D'accord ! Je vois !

C'est juste qu'à la c), on nous demande "en déduire une expression de f"
et à la 2) " Donner alors toutes les solutions" étant donné qu'on a f(t) et f(x), c'est perturbant ..

Merci à vous !

Posté par
carpediem
re : Equation différentielle et primitives 05-12-21 à 14:12

oui ça semble répétitif ...

de rien



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