Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau maths spé
Partager :

équation différentielle et série entière

Posté par
sheigh 18-06-22 à 08:07

Bonjour à tous,

Voici mon sujet :

Soit l'équation différentielle suivante : xy''+2y'-xy=0

1- Chercher les solutions développables en séries entières
2- Résoudre complètement l'équation sur un intervalle bien choisi
3- Résoudre l'équation sur R.

1- J'ai bien démarrer l'exercice et suis arrivée à la relation de récurrence suivante :

an+1 = \frac{1}{(n+1)*(n+2)} * an-1

et an=\frac{1}{n(n+1)} * an-2


J'ai remarqué a0 = a2=0 etc donc tous les a2n = 0, donc je me focalise sur les a2n+1 mais j'ai un peu de mal pour la suite, je tâtonne à donner à une forme de y(x). Je pêche un peu pour la procédure à ce stade.

Merci.

Posté par
LeHiboure : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 08:22

Bonjour,

Tu as les relations qui peuvent peut-être t'aider :
1/((n+1)(n+2)) ) = 1/(n+1) - 1/(n+2)
1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
A partir de là, tu peux peut-être écrire les solutions développables comme les différences de 2 séries, de rayon de convergence évidemment inférieur aux séries globales (décroissance des termes généraux en 1/n au lieu de 1/n²), mais qui peuvent peut-être permettre de répondre à la question 2 "sur un intervalle bien choisi".

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 08:43

Bonjour,

Je vous remercie. Mais je n'ai pas compris je ne vois pas comment vos relations m'amènent à an pour la première question où je cherche les solutions développables en séries entières.
Merci.

Posté par
LeHiboure : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 09:06

Ce que j'ai essayé de dire, c'est que tu peux considérer séparément les sous-séries de terme général :
bn = (1/n) bn-2
cn =( -1/(n+1))cn-2
en remarquant que an = bn + cn
Les sous-séries bn et cn sont plus faciles à sommer. Tu devrais en écrire les premiers termes pour avoir une idée de leur allure générale.

Posté par
luzakre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 09:21

Bonjour !
Il me semble qu'il n'y a aucune difficulté à calculer a_{2n+1} en fonction de a_1 à partir de ta formule de récurrence  ce qui donne une formule connue pour la somme !

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 09:56

Merci.

D'accord, c'est justement l'allure générale mon problème. J'y vais petit à petit donc.

Pour
bn = \frac{1}{n} * bn-2
b0 = 0
b1 = b-1
b2 = 1/2 * b0 = 0
b3 = 1/3 b1 = 1/3 b-1
b4 = 1/4 b2 = 0
b5 = 1/5 b3 = 1/5*1/3 b1

donc bn serait de cette forme :
bn=\frac{1}{(2n-1)!} * b1
or je sais que (2n+1)! = \frac{(2n)!}{2^n * n!}
donc bn= \frac{2^n * n!}{ (2n)!} b1

Est-ce bon ?

Posté par
larrechre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 11:33

Bonjour ,

En l'absence de LeHibou et de luzak.

c'est b2n+1 dont tu viens de conjecturer la forme, et au dénominateur, il faut (2n+1)!

Continue pour l'autre terme.

A mon avis, c'est plus simple d'y aller directement a3 en fonction de a1, puis a5 en fonction de a3 , donc de a1, etc., mais bon..

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 12:02

Merci j'ai refais et vu mon erreur par contre j'ai du mal avec le cn.

J'aurai tendance à faire:

cn+1 = \frac{-1}{3*4*5*5*6*...*(n+2))}

et comme il manque un  1* 2 pour avoir (n+2)! , j'aurai multiplié en haut et en bas, ce qui me ferait donc
cn+1= \frac{-2}{(n+2)!}

Posté par
LeHiboure : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 13:50

Citation :
En l'absence de LeHibou et de luzak

L'expérience m'a appris que, lorsque les professionnels interviennent, il vaut mieux pour l'amateur que je suis de continuer à admirer la partie depuis les gradins

Posté par
larrechre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 14:05

LeHibou

Inutilement vachard. J'ai simplement voulu aider sheigh alors que je le  voyais connecté.
J'aurais mieux fait de m'abstenir.
J'en reste là donc, place aux  pros, aux vrais donc...

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 14:27

Et ensuite on additionne le tout.

Posté par
LeHiboure : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 14:30

Citation :
LeHibou

Inutilement vachard.


larrech, désolé si je t'ai offensé, ça n'était pas du tout mon intention...

Posté par
Rintarore : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 14:31

Bonjour,

larrech il y a quiproquo ! LeHibou ne se qualifie nullement de pro, au contraire   

Posté par
LeHiboure : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 14:34

Citation :
larrech il y a quiproquo ! LeHibou ne se qualifie nullement de pro, au contraire  

Merci Rintaro !

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 14:43

Euh ? une réponse svp ?

Posté par
LeHiboure : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 15:36

Es-tu certain de ta formule de récurrence ?  
J'ai refait les calculs et je trouve bien une récurrence de 2 en 2, mais pas la même.

En fait, je trouve tous les termes impairs nuls, et ma  relation entre les termes pairs est :

a0 quelconque
an = an-2/n²

Mais bon, il fait très chaud, alors...

Si quelqu'un pouvait nous départager, ça serait cool

Posté par
carpediemre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 15:38

salut


sheigh @ 18-06-2022 à 08:07

1- J'ai bien démarrer l'exercice et suis arrivée à la relation de récurrence suivante :

an+1 = \dfrac{1}{(n+1)*(n+2)} * an-1

et an=\dfrac{1}{n(n+1)} * an-2

je ne vois aucune différence entre ces deux relations ...

en remplaçant n - 1 par n dans la première et n - 2 par n dans la deuxième on obtient dans les deux cas :  a_{n + 2} = \dfrac 1 {(n + 2)(n + 3)} a_n

les conditions initiales déterminent donc les deux sous- suites de rang pair et de rang impair ... mais dans tous les cas on a :

a_2 = \dfrac 1 {2 \cdot 3} a_0 \\ a_4 = \dfrac 1 {4 \cdot 5} a_2 \\ ... \\ a_{2n - 2} = \dfrac 1 {(2n - 2)(2n - 1)} a_{2n - 4} \\ a_{2n} = \dfrac 1 {2n(2n - 1)} a_{2n}

et

a_3 = \dfrac 1 {3 \cdot 4} a_1 \\ a_5 = \dfrac 1 {5 \cdot 6} a_3 \\ ... \\ a_{2n - 1} = \dfrac 1 {(2n - 1)(2n)} a_{2n - 3} \\ a_{2n + 1} = \dfrac 1 {(2n + 1)(2n + 2)} a_{2n - 1}

dans les deux cas il suffit de multiplier membre à membre ces environ n/2 égalités ...

Posté par
LeHiboure : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 16:10

Salut carpediem, et merci pour ta contribution.
En fait, comme je l'ai dit dans mon post de 15:36 qui a dû se croiser avec le tien de 15h38, j'ai un doute sur la validité de la formule de récurrence que sheigh a proposée mais que personne n'a validé.
Pourrais-tu y jeter un coup d'œil ?
Bon samedi au frais...
LeHibou

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 16:44

Merci à vous tous.

Citation :

an=\frac{1}{n(n+1)} * an-2


Je me disais bien que ce n'étais pas utile, et ça un peu fausser le reste.

Et là j'ai encore du mal à voir.

Voilà comment je procède:

\frac{a3*a4*a5*a6*a7*....*a2n-2*a2n-1*a2n*a2n+1}{2*3*3*4*4*5*5*6*6*7*7*8*8*....*(2n-2)*(2n-1)*(2n-1)2n*2n*(2n+1)*(2n+1)*(2n+2)}

et après simplification, il  tenterai d'écrire :

an=\frac{1}{((2+1)!^2*(2n+2)}*a1

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 16:48

Bonjour à tous sur la pointe des pieds,

Je confirme que les termes de rang impair sont nuls et que :

   a_{n+2}=\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}a_n

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 16:58

Décidément, je n'y comprends plus rien du tout, comment vous voyez que les rangs impairs sont nuls ?

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:01

Juste pour signaler une coquille dans un message de carpediem :

Citation :
a_2 = \dfrac 1 {2 \cdot 3} a_0 \\ a_4 = \dfrac 1 {4 \cdot 5} a_2 \\ ... \\ a_{2n - 2} = \dfrac 1 {(2n - 2)(2n - 1)} a_{2n - 4} \\ a_{2n} = \dfrac 1 {2n(2n {\red +}1)} a_{2n}


Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:04

Que vaut le terme de degré 0 dans le développement de xy''+2y'-xy ?

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:13

Citation :
Que vaut le terme de degré 0  dans le développement de xy''+2y'-xy

Ah bon ? Mais rassurez-moi il n'y en a pas j'espère parce que là je suis complètement déroutée.

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:15

Si il y en a un : il vient uniquement du terme 2y' de l'équation différentielle.
Que vaut_il ?

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:26

Alors là je vais vraiment me faire toute petite.. Le terme de degré zéro viendrait de 2y' mais qu'est-ce que cela veut dire au juste ?

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:33

Voyons:

y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots

y'=a_1+2a_2x+\cdots

y''=2a_2+\cdots

xy''+2y'-xy=2a_1+(6a_2-a_0)x+\cdots

Non ?

  et donc a_1=0 et avec la relation de récurrence a_{2n+1}=0

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:50

Ok je comprends mieux, je vous remercie.

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:55

Pour la suite :

  

Citation :
a_2 = \dfrac 1 {2 \cdot 3} a_0 \\ a_4 = \dfrac 1 {4 \cdot 5} a_2 \\ ... \\ a_{2n - 2} = \dfrac 1 {(2n - 2)(2n - 1)} a_{2n - 4} \\ a_{2n} = \dfrac 1 {2n(2n  +1)} a_{2n}




Comme on te l'a indiqué, en multipliant membre à membre, tu obtiendras une formule très simple donnant a_{2n} en fonction de n et a_0

Pour la suite encore, tu pourras t'intéresser au DSE de \dfrac{\sinh\,x}{x}
  

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:56

Et an= \frac{a0}{(2n+1)!}

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 17:59

Plutôt a_{{\red 2}n}=\cdots

Mais oui.

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 18-06-22 à 18:00

oui tout à fait. Merci.

Posté par
larrechre : équation différentielle et série entière 19-06-22 à 09:18

@LeHibou

Le sujet étant manifestement clos, je reviens sur le mini clash.
Etant bien loin d'être un pro des maths, tu comprendras que je me sois quelque peu senti agressé.
A tort manifestement, je t'en donne acte. On oublie donc.
J'en profite pour  remercier Rintaro.
Bonne journée à vous deux.

Posté par
carpediemre : équation différentielle et série entière 19-06-22 à 12:19

larrech @ 19-06-2022 à 09:18

Bonne journée à vous deux.
et les autres ? pas de bonne journée ?   

lake : merci pour le correctif

LeHibou : je me suis focalisé uniquement sur la relation de récurrence pour préciser que c'était la même ... et donner un moyen simple de calcul ...

ensuite comme je le disais :
carpediem @ 18-06-2022 à 15:38

les conditions initiales déterminent donc les deux sous- suites de rang pair et de rang impair ...
  

dommage que sheigh n'est pas fait son travail de vérification (en nous présentant son travail ... quand tu lui as dit qu'il y avait un pb ...

enfin une dernière remarque : soit y une solution de l'ED xy'' + 2y' - xy = 0 \iff xy''(x) + 2y'(x) - xy(x) = 0   (1) sur l'intervalle ]0, +oo[ ou ]-oo, 0[

alors en remplaçant x par -x on obtient -xy(-x) + 2y'(-x) - (-x)y(-x) = - [xy(-x) - 2y'(-x) - xy(-x)]

ceci ne peut valoir 0 (pour retrouver (1)) que si y' est impair donc que y est pair ...



bonne journée à vous tous

Posté par
carpediemre : équation différentielle et série entière 19-06-22 à 12:20

damned j'ai raté les prime prime dans latex ...

Posté par
Razesre : équation différentielle et série entière 19-06-22 à 19:05

Bonjour,

J'ai voulu vérifier si les relations postées sont correct et j'ai trouve des résultats différents:

xy''+2y'-xy=0; y=\sum_{n\geq 0}a_nx^n; y'=\sum_{n\geq 1}^{+\infty}na_nx^{n-1}; y''=\sum_{n\geq 2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}; \Rightarrow \\ \sum_{n\geq 2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n}+\sum_{n\geq 1}^{+\infty}2na_nx^{n-1}-\sum_{n\geq 0}^{+\infty}a_nx^{n+1}=0\Leftrightarrow

\sum_{n\geq 2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n}+\sum_{n\geq 0}^{+\infty}2(n+1)a_{n+1}x^{n}-\sum_{n\geq 1}^{+\infty}a_{n-1}x^{n}=0


\begin{cases} a_1=0 ; 4a_2-a_0=0\\ n(n-1)a_n+2(n+1)a_{n+1}-a_{n-1}=0; n\geqslant 2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a_1=0 ;a_2=\frac{1}{4}a_0\\ n(n-1)a_n+2(n+1)a_{n+1}-a_{n-1}=0; n\geqslant 2 \end{cases}

Posté par
lafol Moderateurre : équation différentielle et série entière 19-06-22 à 22:15

bonjour
Razes, tu as fait comme si c'était x²y", or c'est xy" au début de l'équation

Posté par
Razesre : équation différentielle et série entière 19-06-22 à 22:40

@lafol, effectivement, tu as raison. Merci

Posté par
Razesre : équation différentielle et série entière 20-06-22 à 01:51

Bonsoir,

Apres vérification des calculs, je trouve des différences:

\sum_{n\geq 2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-1}+\sum_{n\geq 1}^{+\infty}2na_nx^{n-1}-\sum_{n\geq 0}^{+\infty}a_nx^{n+1}=0 \Leftrightarrow \\ 2a_1+\sum_{n\geq 1}^{+\infty} n(n+1)a_{n+1}x^{n}+\sum_{n\geq 1}^{+\infty} 2(n+1)a_{n+1}x^{n}-\sum_{n\geq 1}^{+\infty}a_{n-1}x^{n}=0\Leftrightarrow \\ \\ 2a_1+\sum_{n\geq 1}^{+\infty} (n+1)(n+2)a_{n+1}x^{n}-\sum_{n\geq 1}^{+\infty}a_{n-1}x^{n}=0\Leftrightarrow  \\ \begin{cases} a_1=0 \\ (n+2)(n+1)a_{n+1}=a_{n-1} ; n\geqslant 1\end{cases}\Leftrightarrow  \begin{cases} a_1=0 \\ (n+2)(n+1)a_{n+1}n!=a_{n-1}n!; n\geqslant 1 \end{cases}\Leftrightarrow \\ \begin{cases} a_1=0 \\ (n+2)!a_{n+1} =n!a_{n-1}; n\geqslant 1 \end{cases}

Donc pour n=2m+1 : (2m+3)!a_{2m+2} =(2m+1)!a_{2m} =\hdots=1!a_0=a_0;
Donc pour n=2m+2 : (2m+4)!a_{2m+3} =(2m+2)!a_{2m+1}=\hdots=2!a_1=a_1=0;

D'où : a_{2n}=\dfrac {a_0}{(2n+1)!} et a_{2n+1}=0

J'espere qu'il n'y a pas d'erreur et que cela permettra à sheigh de continuer.

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 20-06-22 à 11:49

Bonjour,

  

Citation :
Après vérification des calculs, je trouve des différences:


Lesquelles ?

Posté par
Razesre : équation différentielle et série entière 20-06-22 à 17:43

Bonjour lake,

Non, il n ya pas de différence. L'une est fonction de a_0 et l'autre en fonction du terme à indice pair précédent.

Posté par
Razesre : équation différentielle et série entière 20-06-22 à 23:45

y=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_0}{(2n+1)!}x^{2n} =\frac{a_0}{x}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{a_0}{x}\left ( e^x-e^{-x} \right )\hdots

Autre façon de faire:
xy''+2y'-xy=0\Leftrightarrow (xy)''-xy=0\Leftrightarrow z=xy; z''-z=0 \hdots

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 21-06-22 à 00:18

Bonsoir,

  Oui les solutions développables en série entière sont de la forme x\mapsto k\,\dfrac{\sinh\,x}{x}

Pour la suite, on peut prouver que les solutions sur ]0,+\infty[ ou ]-\infty,0[ sont les fonctions f:x\mapsto \dfrac{\lambda\,\sinh\,x+\mu\,\cosh\,x}{x} (en posant y=u\,\dfrac{\sinh\,x}{x}) ou, ce qui revient au même, x\mapsto\dfrac{a\,e^x+b\,e^{-x}}{x}

Sur \mathbb{R}, on peut prouver que les seules fonctions f solutions (dérivables deux fois) sont définies par :

   \begin{cases}f(x)=k\,\dfrac{\sinh\,x}{x}\text{ si }x\not=0\\f(0)=k\end{cases}

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 21-06-22 à 08:16

Bonjour,

Merci à vous, j'ai pu répondre à la première question et j'ai trouvé la même série entière, je continue la suite de l'exercice tranquillement, j'ai cependant une question, le prof nous a donné quelque piste avant la future correction et il nous a dit qu'il faut vérifier la récurrence qu'on trouve pour a2n, je lui ai demandé pourquoi je n'ai pas compris sa réponse, j'ai entendu qu'à partir de a6 cela pose problème. Pouvez-vous m'en dire plus. Je vous remercie de nouveau.

Posté par
Razesre : équation différentielle et série entière 21-06-22 à 08:32

a_1=0 \\ (n+2)(n+1)a_{n+1}=a_{n-1} ; n\geqslant 1\Leftrightarrow

On multiplie par n!
(n+2)(n+1)a_{n+1}n!=a_{n-1}n!; n\geqslant 1 \Leftrightarrow \\ (n+2)!a_{n+1} =n!a_{n-1}; n\geqslant 1]

Je ne vois pas de problème en a_6
Car, pour n=5; nous avons : 7*6a_6=a_4

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 21-06-22 à 13:51

Je suis d'accord avec vous, je n'ai pas vraiment compris l'explication, mais il faut démontrer la récurrence en a2n avant dire que y(x)=\sum{}\frac{a0}{(n+1)!} x^(2n), peu-être avez-vous une explication à cette démarche ?

Merci.

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 21-06-22 à 16:05

Voyons; la propriété à démontrer par récurrence :

    Pour tout n entier naturel, a_{2n}=\dfrac{1}{(2n+1)!}\,a_0

  Je passe sur l'initialisation qui est immédiate.
  Pour l'hérédité, tu disposes de la relation de récurrence :

       a_{2n+2}=\dfrac{1}{(2n+2)(2n+3)}\,a_{2n}

Ce n'est pas très difficile ...

Posté par
sheighre : équation différentielle et série entière 21-06-22 à 16:36

Euh non je n'ai pas voulu qu'on me montre comment démontrer la récurrence mais plutôt son utilité, désolée de l'incompréhension. A chaque résolution de ce type d'exercice je devrai démontrer la récurrence en a2n?
Merci.

Posté par
lakere : équation différentielle et série entière 21-06-22 à 16:47

Personnellement, j'imaginais qu'en spé, pour passer de :

  

Citation :
a_{2n+2}=\dfrac{1}{(2n+2)(2n+3)}\,a_{2n}


  à :

  
Citation :
Pour tout n entier naturel, a_{2n}=\dfrac{1}{(2n+1)!}\,a_0


  on faisait grâce de la récurrence.

Mais s'il faut passer sous les fourches caudines de ton professeur, tu n'as guère le choix : formellement la récurrence est "obligatoire".
  

Posté par
Razesre : équation différentielle et série entière 22-06-22 à 00:54

Razes @ 21-06-2022 à 08:32

a_1=0 \\ (n+2)(n+1)a_{n+1}=a_{n-1} ; n\geqslant 1\Leftrightarrow

On multiplie par n!
(n+2)(n+1)a_{n+1}n!=a_{n-1}n!; n\geqslant 1 \Leftrightarrow \\ (n+2)!a_{n+1} =n!a_{n-1}; n\geqslant 1]


En posant: u_{n+1}=(n+2)!a_{n+1} ; nous aurons : u_{n+1}=u_{n-1} ;

On n'aura pas besoin de récurrence.

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !