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équation différentielle et sytème
On note n un entier > ou = à 2 fixé, h=1/n, x(0),x(1),...,x(n) n+1
nombres réels inconnus et x'(0),x'(1),...,x'(n+1)
les nombres définis par x'(k)=[x(k+1)-x(k)]/h pour k = 0,1,...,n-1
1. résoudre l'équation différentielle: x'(t)+x(t)=exp(-t)
avec la condition initiale x(0)=0
Calculer x(1)
2. Résoudre le système formé des n équations en x(0), ..., x(n) :
x'(k)+x(k)=0 pour k = 0,1,...,n-1
3. (a) Montrer que: 0<(1+h)exp(h)<1
(b) Calculer la somme 1+(1+h)exp(h)+(1+h)²exp(2h)+...+[(1+h)^(k-1)]exp[(k-1)h]
pour 1<ou = k < ou = n
(c) Résoudre le système linéaire formé des n+1 équations en x(0),...,x(n):
x'(k)+x(k)=exp(-kh) pour k=0,1,...,n-1 et x(0)=0
(d)Pour n=10, calculer x(10) et comparer au x(1) de la première question
Merci d'avance
1. résoudre l'équation différentielle: x'(t)+x(t)=exp(-t)
avec la condition initiale x(0)=0
Calculer x(1)
La méthode est toujours la même.
On commence par résoudre sans second menbre.
x'(t)+x(t)=0.
donc x'(t)=- x(t)
donc x'(t)/x(t)=-1
On intègre , ln|x(t)| = -t
donc x(t) = k*exp(-t)
k étant un réel.
On résout maintenant avec second membre.
La solution sera dela forme p(x)*exp(-t).
On remplace dans l'équation de départ :
p'(x)*exp(-t) - p(x)*exp(-t) + p(x)*exp(-t) = exp(-t)
On simplifie , il reste.
p'(x) = 1
donc p(x) = t
donc
x(t) = k*exp(-t)+t*exp(-t)=(k+t)*exp(-t)
On cherche maintenant k avec la condition initiale.
x(0)=0 , donc 0 = (k+0)*exp(0)=k
donc k = 0.
x(t) = t*exp(-t)
x(1) = 1*exp(-1)= 1/e
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