Niveau école ingénieur

équation différentielle et transformée de Fourier

Posté par
parrax 17-10-21 à 12:51

  Bonjour à tous,

  J'ai des difficultés pour un exercice sur la transformée de Fourier:

  "En utilisant la transformée de Fourier, résoudre l'équation différentielle $y'''=xy$
."

  J'applique la démarche générale: Soit $y$
solution. La transformée de Fourier de l'équation différentielle s'écrit $\frac{i}{2\pi}(\hat{y})'(\nu ) + i8\pi^{3}\nu ^{3}\hat{y}(\nu )=0$ .

  Soit encore $(\hat{y})'(\nu)+16\pi^{4}\nu^{3}\hat{y} (\nu)=0$ .

  Donc $\hat{y}(\nu)= \lambda \exp(-4\pi^{4}\nu ^{4})$ avec $\lambda$ constante.

  Mais je ne vois pas trop comment calculer la TF inverse car on a quelque chose en $\exp(\nu ^4)$ . Je me retrouve bloqué.

  Pouvez-vous s'il vous plaît me venir en aide?

  Je vous remercie.

Posté par re : équation différentielle et transformée de Fourier 18-10-21 à 12:05

Bonjour parrax.

Il me semble que la transformée de Fourier d'une dérivée s'écrit $F(y')(\xi) = i\xi F(y)$
Donc $F(y''') = (i\xi)^3F(y)$

Par ailleurs $F(xy) = iF(y)'(\xi)$

Donc en posant $\tilde y = F(y)$

On doit être amené à résoudre $(it)^3\tilde y = i\tilde y'$ .. ce qui est beaucoup plus simple.

_{Sauf erreur bien entendu}

Posté par re : équation différentielle et transformée de Fourier 18-10-21 à 12:08

Mais au final on se retrouve à faire Fourier inverse de $e^{-x^4/4}$ ... donc en fait ... pas kool !!

Posté par re : équation différentielle et transformée de Fourier 18-10-21 à 12:10

En fait, on va résoudre l'équation différentielle avec $\mathcal F^{-1}(e^{-x^4/4})$ épicétou !

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