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Équation différentielle pomme

Posté par
Max2323
12-04-21 à 22:00

Bonjour, j'ai cet exercice en maths mais je ne suis pas sûr comment répondre:

On lâche une pomme du haut d'un arbre de 10 mètres. Lors de sa chute:
- la vitesse v(t) (exprimée en m.s^-1) de la pomme en fonction du temps (exprimé en s) est solution de l'équation différentielle y' = 9,8 ;
-la distance d(t) (exprimée en m) parcourue par la pomme est solution de l'équation différentielle y' = v.
Quelle est la vitesse de la pomme lorsqu'elle s'écrase au sol?

Pour l'instant j'ai trouvé v(t)'=9,8 et d(t)'=v.
Je pense que v(t)=9,8t + K

Mais après ça je suis bloqué. J'apprécierai fortement de l'aide!
Merci par avance

Posté par
alma78
re : Équation différentielle pomme 12-04-21 à 22:40

Bonsoir,
Pour trouver K, tu dois considérer que pout t=0, v=0

Posté par
LeHibou
re : Équation différentielle pomme 12-04-21 à 22:46

Bonsoir,

Citation :
la vitesse v(t) (exprimée en m.s^-1) de la pomme en fonction du temps (exprimé en s) est solution de l'équation différentielle y' = 9,8 ;

C'est plutôt v' = 9,8
J'imagine que c'est une faute de frappe

Posté par
fenamat84
re : Équation différentielle pomme 12-04-21 à 22:55

Bonsoir,

Il faut comprendre par v'(t) = 9,8 et d'(t) = v(t).
D'ailleurs de cette dernière formule, on peut facilement en déduire la distance d(t) en fonction de la vitesse v(t)...

Posté par
Max2323
re : Équation différentielle pomme 13-04-21 à 09:25

LeHibou @ 12-04-2021 à 22:46

Bonsoir,

Citation :
la vitesse v(t) (exprimée en m.s^-1) de la pomme en fonction du temps (exprimé en s) est solution de l'équation différentielle y' = 9,8 ;

C'est plutôt v' = 9,8
J'imagine que c'est une faute de frappe
LeHibou @ 12-04-2021 à 22:46

Bonsoir,

Citation :
la vitesse v(t) (exprimée en m.s^-1) de la pomme en fonction du temps (exprimé en s) est solution de l'équation différentielle y' = 9,8 ;

C'est plutôt v' = 9,8
J'imagine que c'est une faute de frappe


Une faute de frappe dans l'énoncé? Parce que je viens de vérifier et je n'ai pas fais d'erreur en recopiant l'énoncé

Posté par
Max2323
re : Équation différentielle pomme 13-04-21 à 10:03

Bon finalement j'ai trouvé que la vitesse de la pomme lorsqu'elles s'écrase au sol est 14 m/s mais il y a une incohérence au niveau des signes à un moment donné puisqu'on part avec v'(t)=9,8 et non pas v'(t)=-9,8.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équation différentielle pomme 13-04-21 à 12:44

non il n'y a pas d'incohérence, tout dépend la direction de l'axe que tu as pris, si on nous donne v' = 9.8 c'est que l'axe est dirigé vers le bas et donc trouver une vitesse positive à l'arrivée est tout à fait normal.

Posté par
Max2323
re : Équation différentielle pomme 14-04-21 à 10:46

Quand on a z(t)=(9,8t^2)/2 + h

Quand la balle va toucher le sol, on aura z(t)=0. On cherche donc t à partir de l'équation z(t)=0:

(9,8t^2)/2 + h = 0 -> (9,8t^2)/2 = -h ->
t^2 =-2h/9,8
Après il faudrait appliquer la fonction racine carré mais on ne peut pas avoir un nombre négatif dans une racine d'où l'incohérence que je trouvais

Posté par
Glapion Moderateur
re : Équation différentielle pomme 14-04-21 à 11:15

il est plutôt plus simple de prendre l'origine du repère à l'instant initial donc au départ de la pomme.
ça donne le d = (1/2)gt² classique , d = vt , etc ... d'où v² = 2gd qui donne v = (2*9.8*10 ) = 14 m/s que tu as bien trouvé
tu n'auras aucun - nul part

Posté par
Pirho
re : Équation différentielle pomme 14-04-21 à 11:15

Bonjour,

peut-être revenir aux fondamentaux, avec l'axe des z (pour respecter tes dernières notations) orienté vers le haut et en utilisant les notations classiques de la physique

en fait, on part de la loi de Newton

accélération  a =- g   ou  a=-9.81    a=\dfrac{dv}{dt} (- car orienté dans le sens contraire de l'axe)

on en déduit

v(t)=-9.81\,t + v(0)   soit   v(t)=-9.81   (car v(0)=0: vitesse initiale nulle)

z(t)=-\dfrac{9.81\,t^2}{2}+z(0)  soit  z(t)=-\dfrac{9.81\,t^2}{2}+10

quand la pomme touche le sol  z(t)=0 soit 0=-\dfrac{9.81\,t^2}{2}+10

t=\sqrt{\dfrac{20}{9.81}}

Posté par
Pirho
re : Équation différentielle pomme 14-04-21 à 11:16

sorry Glapion pas vu ta réponse



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