Bonjour,
J'ai un exo sur une équation différentielle à résoudre...é je suis bloquée dès la première question..pourriez-vous m'aider svp...
On considère l'équation différentielle (E) suivante en la fonction inconnue y de la variable réelle x
(1-x²)y''-xy'+y=0
1. On se propose de résoudre (E) sur l'intervalle ]-1;1[
(a)f étant une fonction deux fois dérivables de ]-1;1[ vers R, solution de (E), on note
P: x -> t=arcsin x et g=f o P^(-1)
Exprimer les dérivées première et seconde de f en fonction de celles de g
(b)Former l'équation différentielle (E') vérifiée par g
(c)Résoudre (E') et en déduire les solutions de (E) sur ]-1;1[
2. En utilisant le changement de variable t=H(x)=Argch(x), résoudre de même l'équation (E) sur ]-1;+infini[
3. Résoudre(E) sur ]-infini;-1[
4. Donner les solutions f de (E) deux fois dérivables sur R
Merci d'avance
Pour faire simple on a g(x)=f(sin(x)) puisue que P^-1 est l'inverse
de arcsin donc sin
soit f(x)=g(arcsinx)
alors
f'(x)=arcsin'(x) * g'(arcsinx)=1/rac(1-x2) g'(arcsinx)
f''=(-1/2)(2x) (1-x2)^(-3/2) g'(arcsin(x))+ [1/rac(1-x2)]^2*g''(arcsinx)
comme f verifie l'equation on a :
(1-x2)f''-xf'+f=0
on remplace :
(-x)/rac(1-x2)g'(arcsin(x))+g''(arcsin(x))-x/rac(1-x2)g'(arcsinx)+g(arcsinx)=0
ca se simplfie:
g''(arcsin(x))+g(arcsin(x)=0
donc
g(arcsinx)=Acos(arcsinx) + Bsin(arcsinx)
et donc f=g(arcsinx)=
A cos(arcsin)+Bx
ce se simplifie :
f(x)=A rac(1-x2) +Bx
voila en gros
la redaction est mauvaise, les notations surement aussi
mais tu as le raisonnement!!!
A+
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :