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Niveau Maths sup
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équation différentielle su second ordre

Posté par (invité) 28-09-03 à 12:14

Bonjour,
J'ai un exo sur une équation différentielle à résoudre...é je suis bloquée dès la première question..pourriez-vous m'aider svp...

On considère l'équation différentielle (E) suivante en la fonction inconnue y de la variable réelle x
(1-x²)y''-xy'+y=0
1. On se propose de résoudre (E) sur l'intervalle ]-1;1[
(a)f étant une fonction deux fois dérivables de ]-1;1[ vers R, solution de (E), on note
P: x -> t=arcsin x et g=f o P^(-1)
Exprimer les dérivées première et seconde de f en fonction de celles de g
(b)Former l'équation différentielle (E') vérifiée par g
(c)Résoudre (E') et en déduire les solutions de (E) sur ]-1;1[

2. En utilisant le changement de variable t=H(x)=Argch(x), résoudre de même l'équation (E) sur ]-1;+infini[

3. Résoudre(E) sur ]-infini;-1[

4. Donner les solutions f de (E) deux fois dérivables sur R

Merci d'avance

Posté par Guillaume (invité)re : équation différentielle su second ordre 28-09-03 à 12:51

Pour faire simple on a g(x)=f(sin(x)) puisue que P^-1 est l'inverse
de arcsin donc sin

soit f(x)=g(arcsinx)
alors

f'(x)=arcsin'(x) * g'(arcsinx)=1/rac(1-x2) g'(arcsinx)

f''=(-1/2)(2x) (1-x2)^(-3/2) g'(arcsin(x))+ [1/rac(1-x2)]^2*g''(arcsinx)


comme f verifie l'equation on a :

(1-x2)f''-xf'+f=0

on remplace :

(-x)/rac(1-x2)g'(arcsin(x))+g''(arcsin(x))-x/rac(1-x2)g'(arcsinx)+g(arcsinx)=0
ca se simplfie:
g''(arcsin(x))+g(arcsin(x)=0

donc

g(arcsinx)=Acos(arcsinx) + Bsin(arcsinx)
et donc f=g(arcsinx)=
A cos(arcsin)+Bx

ce se simplifie :

f(x)=A rac(1-x2) +Bx

voila en gros
la redaction est mauvaise, les notations surement aussi
mais tu as le raisonnement!!!

A+



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