bonjours à tous
svp correction detaillé de
Soit I la fonction définie sur IR par : I(t) = 1/π  ∫_0^π▒〖cos⁡(tsinθ)dθ〗
a) monter que I est de classe C² et solution de l'équation différentielle :
(E) : ty"(t) + y'(t) + ty(t) = 0
b) Déterminer une équation différentielle du second degré vérifiée par la fonction :
u : t → I(t)√t  ;  t∈]0,+∞[
soit v une solution non nulle de l'équation différentielle y"(t) + y(t) = 0 et  et  deux zéros consécutifs de v avec  0 <   < 
Montrer que : ∫_α^β▒〖(u(t)v(t))/4t²  dt 〗= [ u(t)v'(t) - u'(t)v(t)]■(β@α)
En déduire que : ∫_α^β▒〖(u(t)v(t))/4t²  dt 〗=  u()v'() - u'()v()
a) Montrer que ∫_π^2π▒〖u(t)sint/4t²  dt 〗≤ √π (1 +√2  )
b) En déduire que : ∫_π^2π▒〖(∫_0^π▒〖cos⁡(tsinθ)dθ〗  〗) sin⁡t/(t√t)   dt ≤4π √(π ) (1+ √2 )