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equation différentielles et suites numériques
bonjour !
je rencontre quelques difficultés dans un exercice en 2 parties : une sur des équations différentielles que je pense avoir comprise, et l'autre sur des suites où je coince totalement. j'accepterai donc volontiers un peu d'aide !
voici l'exercice :
lorsque, dans un milieu naturel, 2 populations animales, des prédateurs et des proies, interagissent, leurs taux d'accroissement sont liés.
afin d'étudier ce phénomène, on décide d'introduire dans un immense bassin, 2 espèces de poissons, 1500 poissons d'une espèce herbivore A et 70 d'une espèce B, prédatrice de l'espèce A.
partie 1 : modèle continu
si l'on note a(t) l'effectif des proies et b(t) l'effectif des prédateurs au temps t en jours, les fonctions vérifient alors le système différentiel suivant :
a' = a(0.06-0.002b)
b' = b(-0.03+0.00003a)
1) en l'absence de prédateurs, exprimer a(t) en fonction de t avec la condition initiale a(0) = 1500
2) en l'absence de proies, exprimer b(t) en fonction de t avec la condition initiale b(0) = 70
3) montrer qu'il existe 2 fonctions constantes non nulles solution de ce système. interpréter ce résultat.
partie 2 : modèle discret
on note an l'effectif des proies et bn l'effectif des prédateurs après n jours. on suppose alors que :
an+1 - an = an(0.06-0.002bn)
bn+1 - bn = bn(-0.03+0.00003an)
1) en l'absence de prédateurs, exprimer an en fonction de n en prenant a0 = 1500
2) en l'absence de proies, exprimer bn en fonction de n en prenant b0 = 70
3) comparer les résultats à ceux de la 1ère partie pour n et t prenant comme valeurs 1, 2, 3, 10, 100
4) on uilise une feuille de tableur afin de calculer les nombres de poissons des 2 types au cours du temps
n an bn
0 1500 70
1 1380 71.05
2 1266.702 71.85997
3 1160.65378 72.4349259
quelle formule saisir en B3 et C3 afin d'obtenir par recopie vers le bas les termes des suites an et bn jusqu'a n=500
5) représenter graphiquement les points de coordonnées (an;bn), commenter l'évolution liée de ces deux populations
CE QUE J AI FAIT :
1.1) b=0
a' = 0.06a
t -> Cexp(0.06t)
si a(0)=1500
1500=Cep(0.06*0)
1500=C
a(t)=1500exp(0.06t)
1.2) a = 0
b' = b(-0.03+0.00003a)
b' = -0.03b
t-> Cexp(-0.03t)
si b(0) = 70
70=Cexp(-0.03*0)
70=C
b(t) = 70exp(-0.03t)
1.3) pour a(t) la fonction constante est le nombre d'individus de base, c'est a dire, 1500 et pour b(t), 70. sans prédateurs, la population de proies ne fait que augmenter et celle des prédateurs sans proies ne fait que diminuer.
voila où j'en suis. mon début est il juste ? je ne vois pas comment faire la suite et exprimer an...
merci d'avance a ceux qui prennent le temps de tout lire !
pour 1-3) je pense que tu n'as pas compris la question.
les fonctions constantes a=1500 et b=70 ne sont pas solutions du système
@matheuxmatou
génial ! merci ! c 'est deja ca XD
comment pourrai-je faire pour la partie 2 pour trouver an ?
encore merci !
suppose que a et b sont des fonctions constantes, non nulles, et regarde ce que cela donne dans le système
matheuxmatou
donc si j'ai bien compris, il faut résoudre le système pour trouver a et b.
si a et b sont constants, logiquement a' et b' sont = 0
donc,
a' = 0 = a(0.06-0.002b)
b' = 0 = b(-0.03+0.00003a)
on peut developper
0 = 0.06a -0.002ab
0= -0.03b + 0.00003ab
-0.06a = -0.002ab
0.03b = 0.00003ab
-0.06 = -0.002b
0.03 = 0.00003a
30 = b
1000 = a
matheuxmatou
par contre, si ces chiffres sont justes, je bloque pour l'interprétation XD
mais je la chercherai plus tard il faut d'abord que je fasse les calculs.
la FAQ du forum
équivalences des systèmes de niveaux scolairesTilk_11
bonjour ! c 'est tout bon j'ai changé 
je n'avais pas vu que j'etais encore noté en première XD
merci !
Edit Tlk_11 >
si des solutions constantes existent c'est que les quantités de prédateurs et de proies n'évoluent pas. C'est donc un état stable et stationnaire. Disons un équilibre parfait entre prédateurs et proies.
matheuxmatou
ca serait donc un équilibre dans la théorie. d'accord je pense avoir compris !
pour la partie 2, j'ai deja commencé a exploité quelques pistes pour exprimer an mais je coince... j'ai essayé de developper mais ca ne marche pas. j'ai essayé d'éliminer le an+1 mais c'est impossible...
est il possible d'avoir une piste ?
matheuxmatou
alors,
an+1 - an = an(0.06-0.002bn)
bn = 0
an+1 - an = 0.06an
an = 0.06an-1
bn+1 - bn = bn(-0.03+0.00003an)
an = 0
bn+1 - bn = -0.03bn
bn = -0.03bn-1
matheuxmatou
alors,
an+1 - an = an(0.06-0.002bn)
bn = 0
an+1 - an = 0.06an oui
an = 0.06an-1 n'importe quoi !
et faut apprendre à mettre les indices avec le bouton X2, sinon on n'y comprend rien
an+1 - an = an(0.06-0.002bn)
bn = 0
an+1 - an = 0.06an
an+1 =0.06an + an
an+1 = 1.06an
an est de la forme un+1= q*un
donc un = u0* qn
donc an = 1500 * 1.06n
bn+1 - bn = bn(-0.03+0.00003an)
an = 0
bn+1 - bn = -0.03bn
bn+1 = 0.97bn
bn est de la forme un+1 = q*un
donc un = u0* qn
donc bn = 70 * 0.97n
2.3) d'après la calculatrice :
n ou t an bn
0 1500 70
1 1380 71.05
2 1266.702 71.85997
3 1160.65378 72.4349259
10 623.29 70.956
100 504.28 8.8562
par contre pour remplir le tableau je ne vois pas comment je peux faire parce que je ne peux pas avoir a(t) ou b(t).
je les ai seulement lrsqu'il n y a pas soit de b soit de a. faut il utiliser les constantes ?? si oui, je ne vois pas comment, car on a pas de t dans les équations différentielles.
2-2 et 2-3 : maintenant oui
pour 2-3, il suffit de savoir se servir d'un tableur et de taper les formules récurrentes données dans les bonnes cases avec les bonnes références
D accord ! Merci beaucoup pour toute cette aide !! Je m en serai jamais sortie XD
Je ne comprends juste pas une chose, oui avec un tableur on peut facilement obtenir les valeurs avec des formules de récurrence, Mais a(t) est une équation différentielle donc comment obtenir une formule de récurrence pour la rentrer dans le tableur ??
Je suppose que je ne peux pas utiliser la formule de a(t) que j ai trouvé en 1.1) comme c est uniquement sans prédateurs... sinon se serait trop simple ! XD
tu remarqueras que cette question fait partie de la seconde partie du problème où il est question de suite et non de fonctions réelles !
C est vrai ! Donc peut-être que les valeurs de a(t) et de an sont les mêmes. (Je suis pas sure a 100% de la déduction par contre X)
Donc a(t) serait une suite et donc an = a(n)
Je le comprends comme ça en tout cas !
Encore merci pour tous ces conseils !
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