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Niveau Reprise d'études
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Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de variable

Posté par
Ribrice
20-11-17 à 19:16

Bonsoir à tous,

mon exercice est le suivant:

Résoudre dans R \ {-1} l'E.D suivante:

y*(dy/dx)+y²=(2/((x+1)(x²+3)) e^-2x

astuce: faites un changement de variable astucieux!

J'ai d'abord effectuer y'+y=0 et je trouve e^(-x) * £

ensuite pour la solution particulière j'ai décidé de poser y(x)=u(x)e^(-2x)
d'où y('x)= u'(x)e^(-2x)-2e^(-2x)u(x)

une fois remplacé dans l'équation différentielle je trouve

u'(x)-u(x)=e^(2x)

j'ai résolu par la suite cette "pseudo" équation différentielle mais je ne pense pas être correctement parti puisque je ne retrouve pas le second membre.

Pourriez-vous m'éclairez?

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 19:23

salut

Citation :
J'ai d'abord effectuer y'+y=0 et je trouve e^(-x) * £

ensuite pour la solution particulière j'ai décidé de poser y(x)=u(x)e^(-2x)
d'où y('x)= u'(x)e^(-2x)-2e^(-2x)u(x)
et pourquoi fais-tu ce que tu fais ? (vu que ça ne sert à rien) ...

il suffit de vérifier la solution trouvée ...


si ton équation est y'y + y^2 = \dfrac 2 {(x + 1)(x^2 + 3)}e^{-x} alors ton équation est du premier ordre ... mais surement pas linéaire ...


Citation :
astuce: faites un changement de variable astucieux!

il est dommage de ne pas reconnaitre en yy' la moitié de la dérivée de ....

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 19:38

u^n ? nu'u^n-1 ?

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 19:41

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 19:44

la dérivée dont tu parles ce n'est pas celle-ci (u^n )' = n*u'*u^(n-1) ?

ou la moitié de uv= u'v+v'u ?

Posté par
etniopal
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 19:46

Il vaut mieux commencer par :
si y est une solution sur J =  ]-  , -1[ ou ]-1 , +[ , et si on pose Y = y.exp   alors Y vérifie YY' = 2/(x + 1)(x² + 3)  .

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 19:47

Merci de cette piste Etniopal, je vais essayer de voir ce que j'ai avec àa

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 19:53

de toute façon on y arrive finalement ... puisque si on pose u = y^2

alors yy' + y^2 = \dfrac 2 {(x + 1)(x^2 + 3)} e^{-2x} \iff u'e^{2x} + 2ue^{2x} = ... \iff [ue^{2x}]' = ....


PS : une moitié fait en général référence au nombre 2 ... et pas à un quelconque n ...

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 20:01

merci pour votre réponse mais je ne comprends pas votre changement de variable

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 20:12

dommage ...

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 21:02

je suis d'accord avec toi jusque:

si u=y²:
u^(1/2)=y (ou -(u)^(1/2)

-y'= (1/2)*u'*u^(-1/2)

- u'= 2y

si nous résumons:
= yy'*e^(2x)+y²*e^(2x)
= [  [u^(1/2)]  * (1/2)*u'*u^(-1/2) ] *e^(2x)+u*e^(2x)
=u'(1/2)*e^(2x)+u*e^(2x)

mais il me manque un bout par rapport à toi. Je continue de chercher

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 21:09

j'ai effectivement omis de nombreuses quelques étapes ...

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 21:10

mais tu te compliques inutilement la tache ...

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 21:11

mais je ne vois pas d'où proviens ton facteur 2 qui viendrait devant mon expression

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 21:23

si j'ai bien compris et d'après la suite de mon expression:

[ (1/2) ue^(2x)  ]' = 2/((x+2)(x²+3))
d'où [ ue^(2x)  ]' = 1/((x+2)(x²+3)) ?

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 22:33

après calcul, je trouve y=\sqrt{[ (1/4)ln(x+1)-(1/8)ln(x²+3)+(\sqrt{3}/12)* arctan((x*\sqrt{3})/3)]*e^(-2x) }

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 20-11-17 à 22:59

le problème avec le facteur 2 se répercute sur mon résultat d'après un solveur d'E.D en ligne. Je ne vois pas d'où sort-il, pourriez-vous m'éclairer?

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 10:23

Ribrice @ 20-11-2017 à 21:23

si j'ai bien compris et d'après la suite de mon expression:

[ (1/2) ue^(2x)  ]' = 2/((x+2)(x²+3))
d'où [ ue^(2x)  ]' = 1/((x+2)(x²+3)) ?
sauf qu'il manque un facteur 2 il me semble ...

Posté par
etniopal
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 12:33

   Soit J un intervalle ouvert non vide de contenu dans  V := ]-1 , +[  et y : J dérivable telle que    y(x)y'(x)+ (y(x))² = 2e-2x/(x + 1)(3 + x²) pour tout x de J .
Si  Y est l'application x y(x)e-x on a : 2Y(x)Y '(x) = 4/(x + 1)(x3 + 1) =  1/(x + 1) - (x - 1)/(x² + 3)    ( x J )

Une primitive sur V  de  x     1/(x + 1) + (x - 1)/(x² + 3)  est  g :  x     ln(x + 1) +  (1/2).ln(x² +1) -  (1/3/).Arctan(x/3  )

Il existe donc un réel c  tel que   Y² =  g - c  pour tout x de J .
  g est strictement croissante et  g(V) = donc J est contenu dans ]g-1(c) , +[
   .
De plus  Y(x) = s(x)f(x) - c)1/2 où s(x)   {-1 , +1}
s étant  continue est constante  
On a donc  y  = )(g - c)1/2 /exp .

La conclusion de cette analyse : Il existe   {-1 , +1} et a > -1 tels que J Ia := ]a , +[  et y =   (g - g(a))1/2 /exp

La réciproque est très facile et la conclusion pourrait être  : les ( Ia , (g - g(a))1/2 /exp ) sont les solutions maximales  ( sur V ) de l'ed yy ' + y² =  2e-2x/(x + 1)(3 + x²)  .

Les solutions sur  U := ]- , -1[ se trouvent de la même façon avec f : x   ln(x + 1) +  (1/2).ln(x² +1) -  (1/3/).Arctan(x/3  )
   ln(-x - 1) +  (1/2).ln(x² +1) -  (1/3/).Arctan(x/3  )  à la place de g .

Rq : Il n'y a pas de problème de raccordement .
         Il ne pourrait y en avoir que si l'ED était  (x + 1)(yy' + y²) =  2e-2x/(3 + x²)

sauf erreur

Posté par
etniopal
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 12:40

Une correction :

Les solutions sur  U = ]- , -1[ se trouvent de la même façon avec f : x     ln(-x - 1) +  (1/2).ln(x² +1) -  (1/3/).Arctan(x/3  )  à la place de g .

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 13:44

Ribrice @ 20-11-2017 à 21:02

je suis d'accord avec toi jusque:

si u=y²:
u^(1/2)=y (ou -(u)^(1/2)

-y'= (1/2)*u'*u^(-1/2)

- u'= 2y

si nous résumons:
= yy'*e^(2x)+y²*e^(2x)
= [  [u^(1/2)]  * (1/2)*u'*u^(-1/2) ] *e^(2x)+u*e^(2x)
=u'(1/2)*e^(2x)+u*e^(2x)

mais il me manque un bout par rapport à toi. Je continue de chercher


carpediem @ 21-11-2017 à 10:23

sauf qu'il manque un facteur 2 il me semble ...


je ne vois pas d'où provient ce facteur 2? à part si tu remplaces u' pars 2y(puis y pars u^(1/2) mais du coup  je n'obtiens plus la forme dérivée souhaitée.

Merci Ethionpal mais ne manque  t-il pas la racine carré?

Posté par
etniopal
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 14:28

(.)1/2 = .

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 14:31

Je n'avais pas bien lu désolé (: et merci, mais en terme de méthode, celle de Carpediem me convient un peu plus mais je ne vois toujours pas d'où vient le facteur 2

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 18:45

carpediem @ 20-11-2017 à 19:53

de toute façon on y arrive finalement ... puisque si on pose u = y^2

alors yy' + y^2 = \dfrac 2 {(x + 1)(x^2 + 3)} e^{-2x} \iff {\red \dfrac 1 2 }u'e^{2x} + {\red \cancel 2}ue^{2x} = ... \iff {\red \dfrac 1 2 }[ue^{2x}]' = ....


PS : une moitié fait en général référence au nombre 2 ... et pas à un quelconque n ...


il est quand même triste de ne pas prendre un papier et un crayon et :

a/ de calculer u' lorsque u = y^2
b/ de détailler les étapes
c/ de comprendre et apprendre

...

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 19:03

Ribrice @ 20-11-2017 à 21:02

je suis d'accord avec toi jusque:

si u=y²:
u^(1/2)=y (ou -(u)^(1/2)

-y'= (1/2)*u'*u^(-1/2)

- u'= 2y

si nous résumons:
= yy'*e^(2x)+y²*e^(2x)
= [  [u^(1/2)]  * (1/2)*u'*u^(-1/2) ] *e^(2x)+u*e^(2x)
=u'(1/2)*e^(2x)+u*e^(2x)

mais il me manque un bout par rapport à toi. Je continue de chercher


Je n'ai pas détaillé à ce moment par hasard?
Ce qui est triste comme vous dites c'est la façon dont vous aidez les personnes, si vous ne voulez pas le faire, ne le faites pas au lieu d'être hautain avec les personnes qui souhaitent apprendre.
Pi directement de juger les personnes qui postent des sujets sur ce site sans même savoir ce qu'il a réalisé.

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 19:23

Ribrice @ 21-11-2017 à 19:03

Ribrice @ 20-11-2017 à 21:02

je suis d'accord avec toi jusque:

si u=y²:
u^(1/2)=y (ou -(u)^(1/2)

-y'= (1/2)*u'*u^(-1/2)

- u'= 2y

si nous résumons:
= yy'*e^(2x)+y²*e^(2x)
= [  [u^(1/2)]  * (1/2)*u'*u^(-1/2) ] *e^(2x)+u*e^(2x)
=u'(1/2)*e^(2x)+u*e^(2x)

mais il me manque un bout par rapport à toi. Je continue de chercher


Je n'ai pas détaillé à ce moment par hasard?
Ce qui est triste comme vous dites c'est la façon dont vous aidez les personnes, si vous ne voulez pas le faire, ne le faites pas au lieu d'être hautain avec les personnes qui souhaitent apprendre.
Pi directement de juger les personnes qui postent des sujets sur ce site sans même savoir ce qu'il a réalisé.


du coup mon =u'(1/2)*e^(2x)+u*e^(2x) donne [ (1/2)ue^(2x)]'

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 19:53

Citation :
si u=y²:
u^(1/2)=y (ou -(u)^(1/2)

-y'= (1/2)*u'*u^(-1/2)

- u'= 2y

franchement ...

u = y^2 => u' = 2yy' épictou ...


Citation :
i nous résumons:
= yy'*e^(2x)+y²*e^(2x)
= [  [u^(1/2)]  * (1/2)*u'*u^(-1/2) ] *e^(2x)+u*e^(2x)
=u'(1/2)*e^(2x)+u*e^(2x)

mais il me manque un bout par rapport à toi. Je continue de chercher
ben peut-être qu'il faudrait reprendre l'équation de départ pour inclure le second membre ...

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 19:55

Ahhhh ! mais j'ai compris ! je prenais y comme une variable est non comme une fonction !
Merci !

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 19:56

de rien

Posté par
Ribrice
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 21-11-17 à 20:54

concernant le raccordement en -1, dois -je utiliser un dl pour ln(-x-1)? pour effectuer limx->-1- et -1+

Posté par
carpediem
re : Equation différneitielle 1ère ordre avec changement de vari 22-11-17 à 19:21

il me semble pas qu'il y ait possibilité de raccordement avec ce ln (-x - 1) ...

mais n'ayant pas la solution je ne peux m'avancer plus ...



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