Bonsoir à tous,
mon exercice est le suivant:
Résoudre dans R \ {-1} l'E.D suivante:
y*(dy/dx)+y²=(2/((x+1)(x²+3)) e^-2x
astuce: faites un changement de variable astucieux!
J'ai d'abord effectuer y'+y=0 et je trouve e^(-x) * £
ensuite pour la solution particulière j'ai décidé de poser y(x)=u(x)e^(-2x)
d'où y('x)= u'(x)e^(-2x)-2e^(-2x)u(x)
une fois remplacé dans l'équation différentielle je trouve
u'(x)-u(x)=e^(2x)
j'ai résolu par la suite cette "pseudo" équation différentielle mais je ne pense pas être correctement parti puisque je ne retrouve pas le second membre.
Pourriez-vous m'éclairez?
salut
la dérivée dont tu parles ce n'est pas celle-ci (u^n )' = n*u'*u^(n-1) ?
ou la moitié de uv= u'v+v'u ?
Il vaut mieux commencer par :
si y est une solution sur J = ]- , -1[ ou ]-1 , +[ , et si on pose Y = y.exp alors Y vérifie YY' = 2/(x + 1)(x² + 3) .
de toute façon on y arrive finalement ... puisque si on pose
alors
PS : une moitié fait en général référence au nombre 2 ... et pas à un quelconque n ...
je suis d'accord avec toi jusque:
si u=y²:
u^(1/2)=y (ou -(u)^(1/2)
-y'= (1/2)*u'*u^(-1/2)
- u'= 2y
si nous résumons:
= yy'*e^(2x)+y²*e^(2x)
= [ [u^(1/2)] * (1/2)*u'*u^(-1/2) ] *e^(2x)+u*e^(2x)
=u'(1/2)*e^(2x)+u*e^(2x)
mais il me manque un bout par rapport à toi. Je continue de chercher
si j'ai bien compris et d'après la suite de mon expression:
[ (1/2) ue^(2x) ]' = 2/((x+2)(x²+3))
d'où [ ue^(2x) ]' = 1/((x+2)(x²+3)) ?
le problème avec le facteur 2 se répercute sur mon résultat d'après un solveur d'E.D en ligne. Je ne vois pas d'où sort-il, pourriez-vous m'éclairer?
Soit J un intervalle ouvert non vide de contenu dans V := ]-1 , +[ et y : J dérivable telle que y(x)y'(x)+ (y(x))² = 2e-2x/(x + 1)(3 + x²) pour tout x de J .
Si Y est l'application x y(x)e-x on a : 2Y(x)Y '(x) = 4/(x + 1)(x3 + 1) = 1/(x + 1) - (x - 1)/(x² + 3) ( x J )
Une primitive sur V de x 1/(x + 1) + (x - 1)/(x² + 3) est g : x ln(x + 1) + (1/2).ln(x² +1) - (1/3/).Arctan(x/3 )
Il existe donc un réel c tel que Y² = g - c pour tout x de J .
g est strictement croissante et g(V) = donc J est contenu dans ]g-1(c) , +[
.
De plus Y(x) = s(x)f(x) - c)1/2 où s(x) {-1 , +1}
s étant continue est constante
On a donc y = )(g - c)1/2 /exp .
La conclusion de cette analyse : Il existe {-1 , +1} et a > -1 tels que J Ia := ]a , +[ et y = (g - g(a))1/2 /exp
La réciproque est très facile et la conclusion pourrait être : les ( Ia , (g - g(a))1/2 /exp ) sont les solutions maximales ( sur V ) de l'ed yy ' + y² = 2e-2x/(x + 1)(3 + x²) .
Les solutions sur U := ]- , -1[ se trouvent de la même façon avec f : x ln(x + 1) + (1/2).ln(x² +1) - (1/3/).Arctan(x/3 )
ln(-x - 1) + (1/2).ln(x² +1) - (1/3/).Arctan(x/3 ) à la place de g .
Rq : Il n'y a pas de problème de raccordement .
Il ne pourrait y en avoir que si l'ED était (x + 1)(yy' + y²) = 2e-2x/(3 + x²)
sauf erreur
Une correction :
Les solutions sur U = ]- , -1[ se trouvent de la même façon avec f : x ln(-x - 1) + (1/2).ln(x² +1) - (1/3/).Arctan(x/3 ) à la place de g .
Je n'avais pas bien lu désolé (: et merci, mais en terme de méthode, celle de Carpediem me convient un peu plus mais je ne vois toujours pas d'où vient le facteur 2
concernant le raccordement en -1, dois -je utiliser un dl pour ln(-x-1)? pour effectuer limx->-1- et -1+
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :