Bonjour,

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Je trouve une réponse trop simple... m=n ou m=2n

J'ai un bug ,je reviens plus tard

Suite

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j'ai trouvé
1;1
2;1
5;2
13;5
34;13
84;34
233;89

On a .

En cherchant des solutions on voit que pour toutes les solutions.

On en déduit la suite avec .

Les solutions sont et les couples et .

Les 30 premiers éléments de :

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1
2
5
13
34
89
233
610
1597
4181
10946
28657
75025
196418
514229
1346269
3524578
9227465
24157817
63245986
165580141
433494437
1134903170
2971215073
7778742049
20365011074
53316291173
139583862445
365435296162
956722026041

Bonjour,
Il y a une coquille dans un des couples : 89 au lieu de 84.

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On remarque que le résultat est toujours 3 et que le second terme devient le premier.

Je parlais des couples fournis par dpi

Je propose

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u_n+1 = 3u_n - u_n-1.

@dpi

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Tu as bien trouvé les plus petites solutions, avec une petite erreur typographique, 89 au lieu de 84, comme l'a remarqué Sylvieg .

Il reste à trouver une loi de formation de ces termes. La suite de Fibonacci devrait permettre de la deviner.

Après, il reste à faire des démonstrations ...

@Sylvieg

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Il ne reste plus qu'à faire les démonstrations

@LittleFox

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Des solutions  ont été trouvées.
Il reste à montrer:
1) qu'elles sont entières; je suggère d'exprimer en fonction de et d'en déduire en fonction de et
2) qu'il n'y en a pas d'autres

@Sylvieg
Bien vu, j'ai obtenu la même chose:



Avec k=3 et x_{-1} = x_1 = 1, on retrouve la série.

Avec k=3 et
je suppose qu'il s'agit d'une simple erreur de frappe
??

en fait la demo demandée est surtout que avec k différent de 3 il n'y a aucune solution à x² - kxy + y² = -1

Oui erreur de frappe: .

Pour k différent de 3 je n'ai pas encore trouvé

On a :

salut

    donc  




d'après la RDS :

km > n > 0  et kn > m > 0  donc par produit  






une troisième façon pour montrer que k > 2 : la fonction x --> x + 1/x est minorée par sur l'intervalle ]0, +oo[

bon pas avancé de plus ... mais c'est pour suivre ...

est minorée par 2  !!

Bonjour
On arrive a une équation Pell-Fermat.
x² - n²(k²-1) = - 4 qui n'a de solution que pour k=3

Bonjour,

trouver les solutions dans de l'équation se fait comme pour l'équation diophantienne (II).

On montre d'abord que si alors et .

Ensuite on suppose qu'il existe une solution avec . On en déduit l'existence d'une autre solution avec :

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la suite étant définie par et .

On montre ensuite par récurrence que où est la suite de Fibonacci définie par et

Merci jandri pour ce message à la fois concis et clair
Je n'avais pas vu le lien avec la suite de Fibonacci