Bonjour,
je ne suis pas sur qu'elle soit plus simple
en tout cas elle donne bien plus de solutions !

équation 1 : 6 solutions (plus leur symétriques) < 100 (cf dpi)
équation 2 : 207 solutions (plus leur symétriques) < 100
(dont 99 "triviales" (m =1) et 108 "autres")

oups, que la I soit plus simple que la II

je pense que la II est plus simple que la I

reoups, j'ai mal regardé mes résultats
la II est effectivement plus compliquée.

quoique ...

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m =1, n quelconque (solutions triviales) 1/n + n/1 - 1/n = n

ensuite si (m, n) est une solution, donnant l'expression entière = k
alors (km-n, m) est une autre solution
(facile à démontrer, simple développement)
ce qui engendre des infinités de solutions à partir des solutions triviales précédentes, (k,1)

@mathafou

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Presque tout a été trouvé.
Il ne reste plus qu'à démontrer qu'il n'y a pas d'autre solution.

Suite

Ici, je constate

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*m; n=m+1
*m =n=m²-1
*21;8   55;21   115;24  204;35   209; 56  pour lesquels je cherche la raison

je rajoute

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329;48
377;144
496;63

Donc,
je confirme

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1/    m->n=m-1
2/    m-->n=m²-1
tous les autres étaient des arrondissements donc éliminés

Mon blank déconne...

je rectifie:

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*pour tout m   n=m-1 est solition
*  pour tout m   m-1 est solution
*les couples que j'avais donnés son éliminés (approximations)
-

J'ai de graves problèmes de concentration...et de souris...

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*pour tout  m    n=m-1 est solution
*pour tout   n     m=n²-1 est solution

"tous les autres étaient des arrondissements donc éliminés"
hum ... non
ou plutot que sans doute tu calcules avec des valeurs arrondies de m/n etc
ce qu'il faut : on ne travaille que exclusivement avec partout que des nombres entiers dans tous les calculs
(c'est à dire on ne "calcule" même jamais m/n, ni aucune racine carrée d'ailleurs)
et donc ceux que tu avais éliminé ne sont pas à éliminer

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21;8 55;21 115;24 204;35 209; 56 pour lesquels je cherche la raison
329;48
377;144
496;63

>mathafou
Après les avoir trouvés mon bidule de vérification avait un bug....
et pour aggraver mon cas  ma souris depuis trois jours me fait des clics
intempestifs

Je les valide donc et un petit rajout pour la route :

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551;115    780;209     980;99

OK y compris ceux là

Je récapitule donc les cas à étudier avec m<10000 :

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j'ai trouvé une méthode pour extrapoler

On voit une progression régulière de raison 2 de l'écart des n et de raison 6 pour l'écart des n.
Donc le prochain qui donnera l'entier 22 sera 483
et n 10604
Je liste jusqu'à l'entier 100

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tout appeler "n" ne rend pas l'explication claire ...

d'autre part comme je le signalais calculer des approximations de m/n, n/m et 1/mn n'est pas la bonne méthode pour éviter des erreurs d'arrondi.

il vaut bien mieux mettre au même dénominateur et calculer m² + n² 1 = kmn ( selon que c'est l'exo I ou l'exo II)

c'est à dire de tester si l'entier m²+n²1 est divisible ou non par mn

résoudre une telle équation "par force brute" donne une base de un bon paquet d'exemples permettant "d'extrapoler" comme tu dis
c'est à dire de trouver expérimentalement des formules de récurrence que l'on peut facilement démontrer ensuite de façon, littérale :
"si (m, n, k) est une solution alors m' = f(m,n,k), n'=g(m,n,k) k' = h(m,n,k)
est elle une solution ou pas"
(démonstrations classiques par récurrence)

on peut aussi chercher des formules pour un k fixé ou pour un m fixé ou un n fixé
l'équation devient alors une équation quadratique en les deux inconnues restantes
de la forme ax² + bxy + cy² +dx + ey + f = 0
il existe une (des) méthodes générale(s) de résolution de telles équations en nombres entiers (dans )
dont une application est l'excellent "alpertron"

ainsi pour k = 22 il donne l'ensemble de toutes les valeurs de m, n
(appelés x et y)

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Citation :
 x² - 22 ⁢x⁢y + y² - 1 = 0

x = 1
y = 0
and also:

x = -1
y = 0

Recursive solutions:

x_n+1 = 22 ⁢x_n - y_n
y_n+1 = x_n

and also:
x_n+1 = y_n
y_n+1 = - x_n + 22 ⁢y_n

la deuxième formule de récurrence donne les mêmes solutions par échange de x et y
les solutions positives sont données par la première valeur de départ
soit
(1, 0) (22, 1) (483, 22) (10604, 483) (232805, 10604) (5111106, 232805) (112211527, 5111106) ...
on élimine la solution (1,0) vu que le dénominateur serait nul
(et bien sur les mêmes en échangeant m et n)
et ceci donne toutes (garanti par la théorie de ces équations quadratiques) pour cette valeur de k
voila où j'en suis
il reste à prouver que quel que soit la valeur de k l'équation quadratique admet des solutions ...

en fait quel que soit la valeur de k, les formules de récurrence sont valables et au moins une solution existe (la solution triviale (1, 0))
mais il faut prouver qu'il n'y a que cette solution triviale comme solution fondamentale
et là est le "hic" pour prouver que on les obtient toutes ainsi.

Tu avais bien compris : pour  n raison 2 et pour m raison 6.

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A noter que le couple  483;22  fait partie des solutions
n;m    tel que   ,donc hors de ma liste;
nombres déjà signalés comme solutions,ainsi que tous les m=n+1.
Mon tableau qui s'incrémente comme je l'ai dit prétend
donner une foule d'autres solutions mais pas toutes
bien que je n'ai pas trouvé  des valeurs issues d'autre chose.

Bonjour mathafou,

trouver les solutions dans de l'équation est un exercice que l'on traite comme un célèbre problème des olympiades (c'est devenu relativement classique).

On montre d'abord que et que pour on a nécessairement .
On vérifie aussi que c'est le seul cas où .

On prend maintenant . Si on trouve d'où la solution fondamentale .
Pour montrer que toutes les autres solutions s'en déduisent on suppose qu'il existe une solution avec . On en déduit l'existence d'une autre solution avec .

Cela permet de conclure que toutes les solutions pour cette valeur sont données par les paires :

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, la suite étant définie par et .

On a aussi où est la suite de polynômes défnie par et .

On peut même donner une formule explicite :

Bonjour,
Si je comprends bien ,mon tableau ne donne que les troisièmes*
solutions pour k

*en sachant que  m=n+1   et n=(m+1) (et symétriquement )  le sont
toujours

Tout à fait.

Ton analyse avec les différences est une méthode classique pour étudier une suite Uk dont on connait à priori les valeurs et dont on cherche une formule générale.

si U_k -U_k-1 = constante , la suite est arithmétique (de la forme U_k = ak+b)

si V_k = U_k-U_k-1 est une suite arithmétique ( c'est à dire si V_k-V_k-1 = constante)
alors U_k suit un polynome du second degré

si W_k =V_k-V_k-1 a W_k - W_k-1 = constante
alors U_k suit un polynome de degré 3
etc ...

exemple (que je recopie servilement)


on forme les différences, puis les différences des différences etc
on aboutit à une différence constante pour la suite T_k
donc S_k est arithmétique (!) et on peut remonter ainsi à U_k de proche en proche, connaissant les 1er termes de chaque suite (entourés)
on aboutit à la "petite formule de Newton" :
U_k = 1*C(k - 1, 0) + 1*C(k-1, 1) + 1*C(k-1, 2) + 1*C(k-1, 3) + 1*C(k-1, 4) = (k⁴ -6k³ + 23k² -18k+24)/24
où les C(m,n) sont les coefficients binomiaux = m!/(n!(m-n)!) avec la convention 0! = 1

on peut faire pareil avec les différences successives que tu as obtenues. pour retomber "expérimentalement" sur la formule de
jandri (k₂-1, k³ - 2k) pour les 3ème solutions.
(3,4) (8,21) (15, 56) (24, 115) ... (à partir de k = 2)

Un tableau excel construit avec des formules "en colonne" (solutions successives pour un k donné) et indiquant les formules de jandri "en lignes"
en filtrant les solutions > 10000

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faute de frappe, la case A2, formule de la 1ère ligne, doit contenir (1, k) et pas (k-1, k)
(n, n+1) c'est la colonne k = 2