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Le plus rapide est de raisonner dans l'anneau des entiers de Gauss

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Non, il y a encore plus simple: raisonner modulo 7

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Sauf erreur, il n'y  a que la solution triviale (x,y,z)=(0,0,0).

Si (x,y,z)(0,0,0), il est facile de voir qu'aucune des trois inconnues ne peut être nulle et on peut, quitte à diviser et rediviser par 7, se ramener au cas où ni x ni y n'est divisible par 7.

Mais dans , la somme de deux carrés non nuls n'est jamais nulle (car -1 n'est pas un carré modulo 7).

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a ce que j'ai compris, on a la même réponse et vite fait la même explication, en fait mon truc c'est la descente infinie que j'ai utilisé...

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Oui, tu as raison, la descente infinie est la meilleure façon de peaufiner la rédaction

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On réduit modulo 7. Donc on doit trouver les des entiers tels que la somme de leur carré soit nulle (modulo 7).
Les restes possibles de carrés d'entiers modulo 7 est 0,1,4,2. Ce qui montre que la seule possibilité pour que 7|x²+y² est que 7|x et 7|y.
D'où x=7x' et y=7y'.
7(x'²+y'²)=z² on en déduit que 7|z² et donc 7|z. on a alors z=7z' et x'²+y'²=7z'².
Par descente infinie, il n'y qu'une seule solution et elle est triviale (0,0,0).

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Oui c'est exactement ce que j'avais bravo