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Equation Diophantienne

Posté par jenny88 (invité) 04-02-05 à 21:13

Bjr,
Je voudrais vous demander de l'aide pour un exercice :

Une équation Diophantienne : On appelle équation diophantienne toute équation dont les inconnues sont des nombres entiers, en l'honneur de DIOPHANTE, Mathématicien grec d'Alexandrie ( 3ème siècle de notre ère)

LE BUT DE CE PROBLEME EST DE DETERMINER TOUS LES ENTIERS NATURELS A,B ET C, POSITIFS VERIFIANT:
1/a + 1/b + 1/c = 1 avec abc ;
1°) a) Peut-on avoir a=1
b) Montrer que 1/a + 1/b + 1/c 3/a ..
c) En déduire que si a, b, c sont solutions alors a = 2 ou a = 3

Posté par jenny88 (invité)excusez-moi 04-02-05 à 22:36

en fait, je ne comprend pas du tout cet exercice? je nai pas compris la méthode etc, je ne sias pas comment faire non plus , merci de votre aide !!
VOtre site est très bien ...
Sincèrement, Jennifer

Posté par manue (invité)re : Equation Diophantienne 04-02-05 à 22:41

Pour ta première question je ne pense pas que tu puisse avoir a=1 car sinon 1/a=1 et si tu ajoute encore 1/b et 1/c tu trouveras un résultat forcément plus grand que 1 cer b et c sont plus grand que 1.
la démonstration n'est pas très bonne désolé...

Posté par
muriel Correcteurre : Equation Diophantienne 04-02-05 à 23:26

bonsoir ,
l'idée y est manue
tu as utilisé un raisonnement pas l'absurde:
supposons que a=1 soit solution.
comme a \le b \le c
alors b et c sont positif
donc 4$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} > 1
ce qui contredit le fait que
4$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1

donc a\no{=}1

d'accord?

ensuite pour le 2

tu sais que a \le b \le c

donc 4$\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}\le \frac{1}{c}
es-tu d'accord?
tu peux donc conclure

pour le 3,
rien de compliqué:
tu as:
4$1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \le \frac{3}{a}

or a est strictement positif, d'accord?
donc
en multipliant de chaque côté par a, tu as ...

à toi de jouer maintenant

Posté par alison (invité)merci enormement 05-02-05 à 20:31

merci bcp pour tous, mais je n'ai toujours pas compris ?
et ainsi que pour la suite :
etude du cas a=2
montrer que 1/b + 1/c 2/b , En déduire que b=2 ou b=3 ou b=4.
voila tout :^merci merci bcp ! merci a votre site ki est génial

Posté par
muriel Correcteurre : Equation Diophantienne 06-02-05 à 11:08

qu'est-ce que tu n'as pas compris?
(à par mon erreur de symbole du fait des formule )

pour le 1, c'est très bien détaillé.

pour le 2, il faut que tu saches que la fonction inverse est décroissante, donc pour tout x et y tels que
x < y tu as
3$\frac{1}{x} > \frac{1}{y}

donc 4$\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}\ge \frac{1}{c}

c'est à dire
4$\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}
4$\frac{1}{a} \ge \frac{1}{c}

ainsi:
4$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{3}{a}

pour le 3, relire ce que j'ai mis


il faut que tu fasses la même chose, que j'ai fait

Posté par jenny88 (invité)merci 06-02-05 à 12:53

mais comment faire , c avec x < y? c avec cela ke lon peux s'aider?
et pr sa comment faire je pense ke c la meme chose?
non
etude du cas a=3
s'inspirer du 2°)a) (c letude du cas a=2) pour montrer necessairement b=3.. donner la solution correspondante
quels sont les triplets soltuion du probleme?
merciii beaucoup si vous pouvez m'aider sur ça gros bisou sà tous !
Jenny

Posté par
muriel Correcteurre : Equation Diophantienne 06-02-05 à 19:50

j'ai du mal à lire, je ne suis pas habituer au langage sms (de toute manière, il est à banir sur le site )

2.
je t'ai tout expliquer, je ne peux pas être plus clair.
a\;\le\; b, alors 3$\frac{1}{a}\;\ge\;\frac{1}{b}

de même,
b\;\le\; c, alors 3$\frac{1}{a}\;\ge\;\frac{1}{b}\;\ge\;\frac{1}{c}

donc
4$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\;\le\; \frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}
4$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\;\le\; \frac{3}{a}

3.
on a:
1\;\le\;\frac{3}{a}
c'est à dire
a\;\le\;....... car a est positif

mais tout ça, il faut réfléchir pour y arriver, cela ne tombe pas du ciel


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