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Niveau terminale
Equation diophantienne
Posté par Law02
Salut à tous,
j'ai un exercice de spé dans lequel on doit résoudre une équation diophantienne au cas général avec ax+by=c.
J'ai réussi à trouver que les solutions sont de la forme x=x(indice 0) +kb et y=y(indice 0 )+ka avec k un entier relatif mais je bloque pour la réciproque.
Si quelqu'un pouvait m'aider, cela serait gentil.
Merci
j'ai trouvé les couples de solution en faisant les hypothèses classiques et maintenant j'essaie de vérifier la véracité de mes couples de solutions en les remplaçant par x et y pour retrouver c mais je n'y arrive pas.
désolé de répondre aussi tard je n'ai pas pu le faire plutôt.
Voici ce que j'ai fais:
Soient a,b,c trois entiers relatifs tels que a et b sont premiers entre eux.
Supposons que c est un multiple de pgcd(a,b) afin de justifier l'existence de solutions.
Supposons qu'il existe un couple (x0;y0) solution particulière de l'équation.
On obtient donc le système: ax+by=c
ax0+by0=c
En faisant la soustraction, on a a(x-x0)=b(y-y0)
a divise donc b(y-y0) et pgcd(a,b)=1 donc d'après le théorème de Gauss, a divise y-y0 donc il existe un entier relatif k tel que ak= y-y0 soit y=ak+y0
J'en déduis donc que x=x0+kb.
Maintenant je souhaite vérifier que les solutions trouvées vérifient l'équation ax+by=c mais je ne n'arrive pas à aboutir à c. J'aboutis à:
a(x0+kb)+b(y0+ka)= 2abk+ax0+by0
ok c'est bien ... mais il y a une erreur !!
soit (u, v) une solution particulière de l'équation ax + by = c
ax + by = c
au + bv = c
on soustrait
a(x - u) + b(y - v) = 0 <=> ... (là est ton erreur)
Au final j'ai bien réussi à finir le raisonnement en corrigeant l'erreur que tu as remarqué .Merci pour ton aide.