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Equation diophantienne
Posté par coa347
Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant : trouver à l'aide de majorations grossières les solutions de l'équation .
et
sont de même signe (évident). Pour
et
strictement positifs, on obtient :
. Cela ne mène nulle part (même avec un encadrement plus resserré). Et il est impossible d'obtenir un encadrement du style
.
Merci d'avance.
salut
travailler sur des divisibilités/parités :
si (a, b) est une solution alors :
quelle est la parité de 2a^3 ? donc celle de b ?
ensuite elle s'écrit :
puis on peut remarquer que a et b sont premiers entre eux
et enfin (-1, -1) est une solution
donc par soustraction
peut-être travailler modulo 4 (ou 8) ...
donc par soustraction
le deuxième facteur est toujours impair (et évidemment n + 1 n'a pas la même parité que n)
on peut alors remarquer que :
si d divise a + 1 et a^2 - a + 1 alors d divise (a + 1)(a - 1) - (a^2 - a + 1) = a
or trivialement deux nombres consécutifs sont premiers entre eux donc
donc si d'après tes résultats a <= b <= 2a alors
a + 1 divise b + 1 ou a + 1 divise b^2 - b + 1
ouais bof ... faut voir ...
oui c'est ce que j'ai dit plus haut ...
et je subodorais effectivement qu'il n'y en avait pas d'autre ... mais de là à le montrer ....
Il faut montrer que les seules solutions sont (a,b)=(0,1) et (-1,-1), avec des considérations de majorations.
luzak @ 25-06-2019 à 17:59
Bonjour !
Déjà ton "évidence" me semble fausse !
Si
il faut 
. Plus précisément \geq0)
.
Bonjour !
Déjà ton "évidence" me semble fausse !
Si
luzak Où as-tu vu un entier strictement compris entre 0 et 1 ?
Oui ça a pas l'air évident, les liens que j'ai trouvé ne sont pas très explicites :
solution dans "Mordell's book, Diophantine Equations, in Chapter 15" parait-il.
Merci pour toutes vos réponses. Cela n'a pas l'air facile à résoudre, même avec n'importe quelle méthode.
Cette affirmation est glissée au milieu d'une phrase, il me semble donc que c'est une erreur.
Bonsoir,
J'ai confirmation que cela devait être effectivement une erreur.
Dans une version qui me semble plus récente du document (ENS versus M1), la phrase "On se convainc à coup de majorations grossières que les seules solutions sont (b; a) = (1; 0) ou (-1;-1)," est devenue "On peut montrer que les seules solutions sont (b,a) = (1,0) ou (−1,−1),".
Dans tous les cas, je ne voyais pas très bien comment avec des majorations on pouvait arriver à prouver ce résultat.
Désolée pour le dérangement et bonne soirée.