Salut, tu es censé ouvrir un nouveau topic me semble-t-il ...

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Bonjour, pouvez-vous m'aider à résoudre ce problême? En fait je ne sais comment l'aborder.L'énoncé s'intitule ainsi:
Démontrer que l'équation ax-by=c admet une infinité de solutions entières positives.NB: a,b,c  Z et pgcd(a,b)=1

Ah c'est vrai,je dois le faire!

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Bonjour franc15

Indication : commence par utiliser le théorème de Bézout.

Kaiser

Resalut,

considere un couple (u,v) de Bezout tel que au+bv=1
Alors (uc,-vc)=(x0,y0) est une solution de ton equation.

Soit à présent (x,y) un couple d'entiers quelconque.
Il est solution de l'equation si et seulement si

ax-by = ax0 - by0, soit a(x-x0) = b(y-y0)
Comme pgcd(a,b) = 1, cela implique d'apres Gauss que a|(y-y0)
Symetriquement, on a aussi b|(x-x0)

Il existe donc k et k' entiers relatifs tels que y=ka+y0 et x=k'b+x0
Les solutions (x,y) sont donc à chercher parmi les réels définis par les égalités précédentes.

Soit (k,k') un couple d'entiers relatifs.
Alors le couple (k'b+x0,ka+y0) est solution de ton equation si et seulement si

a(k'b+x0)-b(ka+y0)=c

compte tenu du fait que ax0-by0=c, cela s'ecrit :

ak'b -bka =0, soit ab=0 ou k=k'.
Mais a et b sont supposés non nuls(sinon l'equation devient triviale)
d'où k=k' est une CNS pour avoir les couples (x,y) solutions.

en résumé, l'ensemble des couples solutions de l'equation diophantienne est constitué des (kb+x0,ka+y0) avec k dans Z; il y en a bien une infinité

Tigweg

Argh, Kaiser, toujours le plus rapide! . Salut !

Remarque : franc15, pour trouver (u,v), tu peux passer par l'algorithme d'Euclide.

Voui, cela évite que l'on s'y perde!

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Salut Tigweg

dis-moi un peut je ne sais plus exactement par où créer un nouveau topic, peux-tu m'en indiquer s'il te plait?

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Oui, mais du coup tu es peut-être meilleur pédagogue!

En d'autres termes, appelle-moi Banach (en toute modestie, seulement pour la complétude ),je t'appellerai Schwartz (réputé pour ses qualités de pédagogue )

Mais...c'est ce que tu AS FAIT !!!!!
tu as ouvert un nouveau topic sur les equations ax+by=c, non?!!

Meme que je t'ai répndu!
Mort de rire!!
:)

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Merci Tigweg,si les maths étaient une religion tu serais un bon prêcheur! Je ferai un effort de t'imiter dans mes futurs rédactions d'exos de maths.Mais il ya une autre partie de la question que tu aurait oublié:
On doit montrer que ces solutions sont positives.

Par ailleurs peux-tu m'aider à savoir combien de temps à peu près  peut-on mettre pour rédiger une telle solution  et à combien peut-on noter cet excercice(sur 20 par exemple?).Je demande ça parce que mon prof a noté ça un seul point sur 26 ! ce que je trouve très peu(Je rappelle que je suis en première année maths).MERCI BCP

Mais je t'en prie, très gentil à toi!
En revanche je pense que l'infinité de solutions positives n'est avérée que dans le cas où a et b sont de même signe.Par exemple si a et b sont positifs, on aura à partir d'un certain entier k0 : kb+x0 > 0 et ka+y0 > 0
Si a et b sont negatifs, ces relations sont verifiees des que k < k0 pour un certain k0 < 0.

En revanche si a >0 et b<0 par exemple, à partir d'un certain k0, les kb+y0 seront negatifs alors que les ka+x0 seront positifs, et le contraire pour k>k1.
Donc il ne peut pas y avoir une infinité de couples solutions d'élements de même signe dans ce cas, sauf erreur de ma part.

En ce qui concerne la notation de ton prof, j'avoue que 1 point/26 est assez peu, en même temps si tu es bien rôdé cela peut se faire en 6 ou 7 minutes, donc 2 points ou 2,5 points sur 20 pour cette question me semble un barême raisonnable si le sujet est finissable dans le temps de l'examen.
S'il s'agit d'un concours en revanche, attends-toi plutôt à un barême fractionné...Peut-être est-e à cela que ton prof veut vous préparer.
Bonne soirée!

tigweg

pour k< k1, pardon *

MErci pour tout les éclaircissement Tigweg.

Tu sais ici dans notre région,généralement les prof cherchent par tous les moyens à durcir les sujets d'examens pour empêcher les étudiant  d'avoir la moyenne(Nous les appeleons parfois des "noyeurs!").

Dans tous les cas verai mon prof pour qu'il m'explique comment il voit cette infinité de solutions POSITIVES!

Je t en prie, franc15, avec plaisir!
Mais j ai l impressio qu il manque vraiment cette hypothese dans ton énoncé

Bonne journée à toi,

Tigweg