Bonjour,

Dans les limites de mon tableau  il y a 16 solutions.
Mais  il y en a une infinité au delà  car z  peut prendre toutes les valeurs nécessaires
pour égaler 5x+7y-24 .

exemple x=20  ,y= 10  , z= 146

Bonjour,
@flight,
Pourquoi ne précises-tu jamais où sont les inconnues ?
Dans ou dans ?

Va pour dans :

 Cliquez pour afficher

Les solutions sont les triplets (x,y,z) avec
x = 2+3z+7k
y = 2-2z-5k
et z et k quelconques dans .

Bonjour. En limitant les valeurs à 24 il y a 30 solutions.

bonjour Sylvieg ..en effet    j'ai omis ce détail tout de même important , merci pour ton intervention

et applaudissement à Sylvieg pour ses resultats  

Soyons modeste : J'ai utilisé l'astuce de Camélia
J'ai l'impression que le 24 ne sert à rien.
5x + 7y = z ne serait très différent.

Une autre réponse pour 5x + 7y - z = 24 dans ³ :

 Cliquez pour afficher

Les solutions sont les triplets (x,y,z) avec
z = 5x+7y-24 et x et y entiers relatifs quelconques
C'est ce qu'a répondu dpi avant moi...

>derny
Ma réponse  initiale est dans .

dpi, je ne connais pas les limites de ton tableau mais une de tes valeurs est bien supérieure à 24. Pourtant tu ne trouves que 16 solutions ! Parmi mes 30 solutions, 9 ont une des valeurs nulle.

Si on est dans    de-24 à +24 il y a environ 300 solutions  

>derny

Ok  oubli des nulles .

salut

Sylvieg : je ne vois pas comment tu trouves cette expression des solutions x et y (à 8h20)

Sylvieg @ 14-09-2020 à 09:40

Soyons modeste : J'ai utilisé l'astuce de Camélia

Voilà voilà : Exo suite / recurrence
Tu utilises la même chose en écrivant z = 5(3z) -7(2z)

Ta seconde conclusion me surprend : x et y peuvent ne pas être multiples de 24.

J'ai aussi utilisé 52 + 72.

Bonjour,

et puis il y a une infinité de façons d'écrire x, y, z en fonction de deux paramètres k et m

l'une étant (Sylvieg)
x = 2 + 3m + 7k
y = 2 - 2m - 5k
z = m

mon logiciel donne :
x = 2 + 7k - 4m
y = 2 - 5k + 3m
z = m

si on remplace k par r+s et m par s
à chaque valeur de (r, s) dans Z² est associée par bijection une valeur de (k, m)

x = 2 + 7(r+s) - 4s = 2 + 3s + 7r
y = 2 - 5(r+s) + 3s = 2 - 2s - 5r
z = s
qui est celle donnée par Sylvieg (au noms près)

si je "mélange" x, y et z dans mon logiciel j'obtiens encore d'autres expressions parfaitement équivalentes :

x = m
y = k
z = -24 + 7k + 5m
(deja dite aussi par Sylvieg)

il n'est pas forcément évident de trouver la transformation, (k, m) <--> (r, s) qui assure l'équivalence entre deux formules données...

nota :
x = 24(3 - 3z - 7k)
y = 24(-2 + 3z + 5k)

ne donne pour x et y que des multiples de 24, donc hum ... pas d'accord du tout sur ces formules là
edit : déja dit par Sylvieg

Je reste sur la question initiale:

5x+7y-z=24    (dans )    -24    x,y,z 24
je trouve  350 solutions dont 17 avec x,y,z =0

certes mais je ne comprends toujours pas !!

dans mes deux cas je résous

5x + 7y = 24 + z (j'ai d'ailleurs fait une faute signe) sans inclure z
ou
5(x - 3z) + 7(y + 2z) = 24

en résolvant d'abord l'équation classiquement avec un second membre = 1

puis je multiplie par 24 + z pour la première ou par 24 pour la deuxième

mais il apparait un produit kz dans mes résultats que Sylvieg n'a pas


en fait non tu pars immédiatement d'une solution particulière avec second membre = 24

et oui j'ai fait une erreur dans le deuxième cas...

hum ..
dans le problème initial de cette discussion il n'a jamais été question de limites sur les valeurs ni du nombre de solutions, mais de trouver toutes les solutions
(en nombre infini, donc sous forme de formules qui les génère toutes)

ceci dit ta question est intéressante,
si on ne fait pas juste un programme ou un tableau pour ça, mais uniquement par du raisonnement et des calculs manuels.
bref comment compter le nombre de solutions dans un intervalle I^3 de Z^3
d'une équation ax + by + cz = K
sans en trouver chacune des valeurs individuellement

idée possible

 Cliquez pour afficher

z+24 = 5x+7y
le nombre de solutions est le nombre de points à coordonnées entières dans le parallélogramme ABCD délimité par
0 ≤ 5x+7y ≤ 48
-24 ≤ x ≤ 24
-24 ≤ y ≤ 24
y compris sur le périmètre



on peut utiliser pour ça le théorème (ou formule) de Pick
hélas il s'applique à des polygones dont les sommets sont à coordonnées entières
B, C, D ne sont pas à coordonnées entières
qu'à cela ne tienne, on le "rabote " en le polygone AEFGHIJ à sommets entiers
petite difficulté il faut rajouter les points entiers qui sont dans les morceaux retirés (2 points dans IJD)

ce que fait mon programme , c'est effectivement partir de 5x+7y = 24+z
en considérant 24+z comme un paramètre

mais il y a quelques petits détails sordides sur des histoires de PGCD
je copie colle :
soit à résoudre ax+by+cz = d

Soit p = PGCD(a,b), a' = a/p, b' = b/p
Soient u₀ et v₀ une solution particulière de a'u + b'v = c
z₀, t₀ une solution particulière de cz + pt = d
x₀, y₀ une solution particulière de a'x + b'y = t₀
La solution générale de ax + by + cz = d est :
x = x₀ + b'k - u₀m
y = y₀ - a'k - v₀m
z = z₀ + pm
où k et m parcourent indépendamment Z

Bien entendu PGCD(a,b,c) doit diviser d, ce qui est vérifié au moment de résoudre cz + pt = d.

exemple avec notre équation 5x+7y-z=24 :
PGCD(5,7) = 1

Solution de 5u + 7v = -1 : u₀ = 4, v₀ = -3
Solution de -z + t = 24 : z₀ = 0, t₀ = 24
Solution de 5x + 7y = 24 : x₀ = 2, y₀ = 2

Solution générale de 5x + 7y - z = 24
x = 2 + 7k - 4m
y = 2 - 5k + 3m
z = m

(il a résolu en fait 5x+7y=±1 avec le signe comme ça l'arrange, selon la parité du nombre d'étapes de l'algorithme d'Euclide, ça ne change pas grand chose)

J'espère que vous trouverez une réponse ,mais cela impose une limite  à x et y et z
sinon il y a une infinité de solution.
J'ai  fait le tour pour 5x+7y-z=+24 avec  limite -24+24 pour x,y,z.
Le décompte exact en trouve 343 .

je suis OK pour 343

(force brute et Pick sont d'accord, en m'aidant de Geogebra pour calculer l'aire du polygone pour Pick)

mathafou : merci

il y a cependant un truc que je ne comprends pas :

résolution de a'u + b'v = c : pourquoi c ? ... mais j'y réfléchirai plus tard ...

je ne retrouve pas non plus immédiatement le raisonnement qui m'a conduit à ces formules là

Curiosité...
Comme mon niveau n'est pas très élevé ,j'essaye de compenser par une grande curiosité.
Dans cet exercice on note que le chiffre 7 ressort:
*dans le paramètres
*dans les solutions successives groupées par 7  (logique car ici z=1)
*dans le nombre total des solutions  :  343 =7­³
bof!

le nombre 7 est un nombre magique, c'est bien connu
c'est comme pi, il a tendance à se glisser là où on ne l'attend pas
moins que le nombre d'or, certes...mais tout de même...

pourquoi le nombre 5 qui ressort lui aussi dans les paramètres n'intervient-il pas dans le nombre de solutions ?

chercher les solutions entre -24 et +24 est totalement arbitraire
entre -10 et +10 on obtiendrait 60 solutions etc

si je remplace 24 du second membre par K et que je cherche entre -K et +K :
K = 2 : 4 solutions dans [-2; 2]³ à 5x+7y-z = 2
K = 3 : 7 solutions (encore lui !!) dans [-3; 3]³ à 5x+7y-z = 3
K = 4 : 12 solutions dans [-4; 4]³ à 5x+7y-z = 4
K = 5 : 17 solutions dans [-5; 5]³ à 5x+7y-z = 5
etc...