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Equation diophantienne

Posté par
flight
14-09-20 à 00:03

Bonjour

d'après vous quelles seraient les solutions  de l'équation suivante  :
5x + 7y - z = 24 ( qu'on pourrait considérer comme une équation diophantienne à 3 inconnues)

Posté par
dpi
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 07:20

Bonjour,

Dans les limites de mon tableau  il y a 16 solutions.
Mais  il y en a une infinité au delà  car z  peut prendre toutes les valeurs nécessaires
pour égaler 5x+7y-24 .

exemple x=20  ,y= 10  , z= 146

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 07:48

Bonjour,
@flight,
Pourquoi ne précises-tu jamais où sont les inconnues ?
Dans ou dans ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 08:20

Va pour dans :

 Cliquez pour afficher

Posté par
derny
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 08:22

Bonjour. En limitant les valeurs à 24 il y a 30 solutions.

Posté par
flight
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 08:23

bonjour Sylvieg ..en effet    j'ai omis ce détail tout de même important , merci pour ton intervention

Posté par
flight
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 08:26

et applaudissement à Sylvieg pour ses resultats  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 09:40

Soyons modeste : J'ai utilisé l'astuce de Camélia
J'ai l'impression que le 24 ne sert à rien.
5x + 7y = z ne serait très différent.

Une autre réponse pour 5x + 7y - z = 24 dans 3 :

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 15:14

>derny
Ma réponse  initiale est dans .

Posté par
derny
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 15:53

dpi, je ne connais pas les limites de ton tableau mais une de tes valeurs est bien supérieure à 24. Pourtant tu ne trouves que 16 solutions ! Parmi mes 30 solutions, 9 ont une des valeurs nulle.

Posté par
dpi
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 16:05

Si on est dans    de-24 à +24 il y a environ 300 solutions  

Posté par
dpi
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 16:10

>derny

Ok  oubli des nulles .

Posté par
carpediem
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 19:12

salut

Sylvieg : je ne vois pas comment tu trouves cette expression des solutions x et y (à 8h20)

Sylvieg @ 14-09-2020 à 09:40

Soyons modeste : J'ai utilisé l'astuce de Camélia
et quelle est-elle ?

parce que je résous classiquement :

5x + 7y = 1 \iff 5(3 - 7k) + 7(-2 + 5k) = 1 \iff 5(3 - 7k)(24 - z) + 7(-2 + 5k)(24 - z) = 24 - z

donc les solutions sont

x = (3 - 7k)(24 - z)
y = (-2 + 5k)(24 - z)
z = z
k = k

autre méthode :

5x + 7y - z = 24 \iff 5(x - 3z) + 7(y + 2z) = 24

donc 5(x + 3z) + 7(y - 3z) = 1 \iff x + 3z = 3 - 7k $ et $ y - 3z = -2 +5k \iff x = 3 - 3z - 7k $ et $ y = -2 + 3z + 5k

puis je multiplie à nouveau par 24 donc je trouve :

x = 24(3 - 3z - 7k)
y = 24(-2 + 3z + 5k)
z = z
k = k

donc j'aimerais bien voir ...

merci par avance

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 20:52

Voilà voilà : Exo suite / recurrence
Tu utilises la même chose en écrivant z = 5(3z) -7(2z)

Ta seconde conclusion me surprend : x et y peuvent ne pas être multiples de 24.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 20:55

J'ai aussi utilisé 52 + 72.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Equation diophantienne 14-09-20 à 22:02

Bonjour,

et puis il y a une infinité de façons d'écrire x, y, z en fonction de deux paramètres k et m

l'une étant (Sylvieg)
x = 2 + 3m + 7k
y = 2 - 2m - 5k
z = m

mon logiciel donne :
x = 2 + 7k - 4m
y = 2 - 5k + 3m
z = m

si on remplace k par r+s et m par s
à chaque valeur de (r, s) dans Z² est associée par bijection une valeur de (k, m)

x = 2 + 7(r+s) - 4s = 2 + 3s + 7r
y = 2 - 5(r+s) + 3s = 2 - 2s - 5r
z = s
qui est celle donnée par Sylvieg (au noms près)

si je "mélange" x, y et z dans mon logiciel j'obtiens encore d'autres expressions parfaitement équivalentes :

x = m
y = k
z = -24 + 7k + 5m
(deja dite aussi par Sylvieg)

il n'est pas forcément évident de trouver la transformation, (k, m) <--> (r, s) qui assure l'équivalence entre deux formules données...

nota :
x = 24(3 - 3z - 7k)
y = 24(-2 + 3z + 5k)

ne donne pour x et y que des multiples de 24, donc hum ... pas d'accord du tout sur ces formules là
edit : déja dit par Sylvieg

Posté par
dpi
re : Equation diophantienne 15-09-20 à 08:22

Je reste sur la question initiale:

5x+7y-z=24    (dans )    -24    x,y,z 24
je trouve  350 solutions dont 17 avec x,y,z =0

Posté par
carpediem
re : Equation diophantienne 15-09-20 à 09:17

certes mais je ne comprends toujours pas !!

dans mes deux cas je résous

5x + 7y = 24 + z (j'ai d'ailleurs fait une faute signe) sans inclure z
ou
5(x - 3z) + 7(y + 2z) = 24

en résolvant d'abord l'équation classiquement avec un second membre = 1

puis je multiplie par 24 + z pour la première ou par 24 pour la deuxième

mais il apparait un produit kz dans mes résultats que Sylvieg n'a pas


en fait non tu pars immédiatement d'une solution particulière avec second membre = 24

et oui j'ai fait une erreur dans le deuxième cas...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Equation diophantienne 15-09-20 à 09:34

hum ..
dans le problème initial de cette discussion il n'a jamais été question de limites sur les valeurs ni du nombre de solutions, mais de trouver toutes les solutions
(en nombre infini, donc sous forme de formules qui les génère toutes)

ceci dit ta question est intéressante,
si on ne fait pas juste un programme ou un tableau pour ça, mais uniquement par du raisonnement et des calculs manuels.
bref comment compter le nombre de solutions dans un intervalle I^3 de Z^3
d'une équation ax + by + cz = K
sans en trouver chacune des valeurs individuellement

idée possible

 Cliquez pour afficher

Posté par
mathafou Moderateur
re : Equation diophantienne 15-09-20 à 09:49

ce que fait mon programme , c'est effectivement partir de 5x+7y = 24+z
en considérant 24+z comme un paramètre

mais il y a quelques petits détails sordides sur des histoires de PGCD
je copie colle :
soit à résoudre ax+by+cz = d

Soit p = PGCD(a,b), a' = a/p, b' = b/p
Soient u0 et v0 une solution particulière de a'u + b'v = c
z0, t0 une solution particulière de cz + pt = d
x0, y0 une solution particulière de a'x + b'y = t0
La solution générale de ax + by + cz = d est :
x = x0 + b'k - u0m
y = y0 - a'k - v0m
z = z0 + pm
où k et m parcourent indépendamment Z

Bien entendu PGCD(a,b,c) doit diviser d, ce qui est vérifié au moment de résoudre cz + pt = d.

exemple avec notre équation 5x+7y-z=24 :
PGCD(5,7) = 1

Solution de 5u + 7v = -1 : u0 = 4, v0 = -3
Solution de -z + t = 24 : z0 = 0, t0 = 24
Solution de 5x + 7y = 24 : x0 = 2, y0 = 2

Solution générale de 5x + 7y - z = 24
x = 2 + 7k - 4m
y = 2 - 5k + 3m
z = m

(il a résolu en fait 5x+7y=±1 avec le signe comme ça l'arrange, selon la parité du nombre d'étapes de l'algorithme d'Euclide, ça ne change pas grand chose)

Posté par
dpi
re : Equation diophantienne 15-09-20 à 11:38

J'espère que vous trouverez une réponse ,mais cela impose une limite  à x et y et z
sinon il y a une infinité de solution.
J'ai  fait le tour pour 5x+7y-z=+24 avec  limite -24+24 pour x,y,z.
Le décompte exact en trouve 343 .

Posté par
mathafou Moderateur
re : Equation diophantienne 15-09-20 à 13:52

je suis OK pour 343

(force brute et Pick sont d'accord, en m'aidant de Geogebra pour calculer l'aire du polygone pour Pick)

Posté par
carpediem
re : Equation diophantienne 15-09-20 à 20:06

mathafou : merci

il y a cependant un truc que je ne comprends pas :

résolution de a'u + b'v = c : pourquoi c ? ... mais j'y réfléchirai plus tard ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Equation diophantienne 15-09-20 à 20:23

je ne retrouve pas non plus immédiatement le raisonnement qui m'a conduit à ces formules là

Posté par
dpi
re : Equation diophantienne 16-09-20 à 08:27

Curiosité...
Comme mon niveau n'est pas très élevé ,j'essaye de compenser par une grande curiosité.
Dans cet exercice on note que le chiffre 7 ressort:
*dans le paramètres
*dans les solutions successives groupées par 7  (logique car ici z=1)
*dans le nombre total des solutions  :  343 =7­³
bof!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Equation diophantienne 16-09-20 à 09:08

le nombre 7 est un nombre magique, c'est bien connu
c'est comme pi, il a tendance à se glisser là où on ne l'attend pas
moins que le nombre d'or, certes...mais tout de même...

pourquoi le nombre 5 qui ressort lui aussi dans les paramètres n'intervient-il pas dans le nombre de solutions ?

chercher les solutions entre -24 et +24 est totalement arbitraire
entre -10 et +10 on obtiendrait 60 solutions etc

si je remplace 24 du second membre par K et que je cherche entre -K et +K :
K = 2 : 4 solutions dans [-2; 2]3 à 5x+7y-z = 2
K = 3 : 7 solutions (encore lui !!) dans [-3; 3]3 à 5x+7y-z = 3
K = 4 : 12 solutions dans [-4; 4]3 à 5x+7y-z = 4
K = 5 : 17 solutions dans [-5; 5]3 à 5x+7y-z = 5
etc...

Citation :
bof!

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