Bonjour,
des volontaires pour cette équation diophantienne:
(p,q,d) 3 tel que 3p(4q3-p3)=d2, pq=1
Je précise que c'est en lien avec x3+y3=z3. C'est donc certain qu'il n'y a pas de solutions, mais manque une preuve, qui semble être prenable pour un habitué des équations diophantiennes. Perso je bute.
Merci d'avance!
tout d'abord modulo 2 l'équation devient
je ne sais pas si ça sert mais en tout cas d et p ont même parité ...
d = 3k donc l'équation
soit p = 3a et alors q = 3b 1
remplacer puis essayer de voir ce qui se passe ...
soit 3 ne divise pas p ... donc ...
mais ça semble bien compliqué ...
Oui, ça n'est pas évident.
p impair, on a p4q3-p3=1, mais ensuite je n'arrive pas à grand chose. Si 3 ne divise pas pq, p et 3(4q3-p3) sont des carré. Avec pq1[3], pas de contradiction.
Même avec p'2(4q3-p'6)=3d'2, pas de contradiction non plus dans 7/7
Nada! Les équations diophantiennes, c'est souvent plein de petites astuces., mais là je ne vois rien!
On arrive à cette équation en cherchant une paramétrisation des triplets (x,y,z) 3/ x3+y3=z3.
on trouve (x,y,z)=(6pq,(d )-3p2,(d) +3p2), avec d=3p(4q3-p3).
C'aurait été sympa de prouver l'impossibilité de ce d d'être un carré, et ainsi d'avoir une preuve "paramétrique" de Fermat-Wiles pour n=3.
Après une petite pause,
je pense avoir avancé sur le cas p impair. Il semble qu'il y ait une contradiction modulo 8
Je donne ici la table pour les exposants 2, 3 et 6
__ 2 3 6
1| 1 1 1
2| 4 0 0
3| 1 3 1
4| 0 0 0
5| 1 5 1
6| 4 0 0
7| 1 7 1
d=3p(4q³-p³). on suppose d un ². p impair, donc d impair.
De plus, pgcg(p,q)=1 donne d'emblée pgcd(p,4q³-p³)=1 . Alors:
_Si 3 ne divise pas p, p nécessairement un ². Donc p³=p'⁶ et p³==1[8],
thm Gauss=> on a aussi 3(4q³-p³)=g² donne 3*(0-1)==1[8] . impossible!
_Si 3 divise p, 3 ne divise pas 4q³-p³ (coprimalité). Donc d ² nécessite p=p'.3.3²ⁿ (multiplicité impaire)
ce qui donne p³=p'³.27.(3³ⁿ)² , soit p³==1.3.1==3[8]
thm Gauss =>on a aussi 4q³-p³=g² , soit 0-3==1[8] impossible!
Quelq'un pour vérifier? De plus, Z/8Z n'étant pas un corps, je ne sais pas si j'ai le droit de faire cela.
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