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Equation diophantienne

Posté par
fabo34
24-04-22 à 17:43

Bonjour,

    des volontaires pour cette équation diophantienne:
   (p,q,d) 3  tel que 3p(4q3-p3)=d2, pq=1

Je précise que c'est en lien avec x3+y3=z3. C'est donc certain qu'il n'y a pas de solutions, mais manque une preuve, qui semble être prenable pour un habitué des équations diophantiennes. Perso je bute.

Merci d'avance!

Posté par
carpediem
re : Equation diophantienne 24-04-22 à 18:46

salut

donc d est multiple de 3 donc d = 3k donc ...

Posté par
fabo34
re : Equation diophantienne 25-04-22 à 08:57

... Donc?

Posté par
carpediem
re : Equation diophantienne 25-04-22 à 17:42

tout d'abord modulo 2 l'équation devient p^4 \equiv d^2 \iff (d - p^2)(d + p^2) \equiv 0  [2]

je ne sais pas si ça sert mais en tout cas d et p ont même parité ...

d = 3k donc l'équation \iff p(4q^3 - p^3) = 3k^2

soit p = 3a et alors q = 3b 1

remplacer puis essayer de voir ce qui se passe ...

soit 3 ne divise pas p ... donc ...

mais ça semble bien compliqué ...

Posté par
fabo34
re : Equation diophantienne 25-04-22 à 20:54

Oui, ça n'est pas évident.
p impair, on a p4q3-p3=1, mais ensuite je n'arrive pas à grand chose. Si 3 ne divise pas pq, p et  3(4q3-p3) sont des carré. Avec pq1[3], pas de contradiction.
Même avec p'2(4q3-p'6)=3d'2, pas de contradiction non plus dans 7/7

Nada! Les équations diophantiennes, c'est souvent plein de petites astuces., mais là je ne vois rien!

On arrive à cette équation en cherchant une paramétrisation des triplets (x,y,z) 3/ x3+y3=z3.

on trouve (x,y,z)=(6pq,(d )-3p2,(d) +3p2), avec d=3p(4q3-p3).

C'aurait été sympa de prouver l'impossibilité de ce d d'être un carré, et ainsi d'avoir une preuve "paramétrique" de Fermat-Wiles pour n=3.

Posté par
fabo34
re : Equation diophantienne 30-04-22 à 16:34

Après une petite pause,

je pense avoir avancé sur le cas p impair. Il semble qu'il y ait une contradiction modulo 8
Je donne ici la table pour les exposants 2, 3 et 6
__ 2 3 6
1| 1 1 1
2| 4 0 0
3| 1 3 1
4| 0 0 0
5| 1 5 1
6| 4 0 0
7| 1 7 1

d=3p(4q³-p³). on suppose d un ². p impair, donc d impair.
De plus, pgcg(p,q)=1 donne d'emblée pgcd(p,4q³-p³)=1 . Alors:

_Si 3 ne divise pas p, p nécessairement un ². Donc p³=p'⁶ et p³==1[8],
thm Gauss=> on a aussi 3(4q³-p³)=g² donne 3*(0-1)==1[8] . impossible!

_Si 3 divise p, 3 ne divise pas 4q³-p³ (coprimalité). Donc d ² nécessite p=p'.3.3²ⁿ (multiplicité impaire)
ce qui donne p³=p'³.27.(3³ⁿ)² , soit p³==1.3.1==3[8]
thm Gauss =>on a aussi 4q³-p³=g² , soit 0-3==1[8] impossible!

Quelq'un pour vérifier? De plus, Z/8Z n'étant pas un corps, je ne sais pas si j'ai le droit de faire cela.



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