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Niveau terminale
Équation diophantienne (congruence et solution)
Posté par matheux14
Bonjour ,
Merci d'avance. 
On considère l'équation (E) : .
1) Soit une solution de (E).
Démontrer que 8y ≡ 1 [13].
2) Résoudre dans , l'équation : 8y ≡ 1 [13].
3) En déduire une solution de (E).
4) Démontrer que l'ensemble des solutions de (E) est
5) Résoudre l'équation (E') :
.
Réponses
1) On a (E) :
Or 13=13×1 et 39=13×3. Donc 13x+39y ≡ 0 [13]
Par conséquent 8y ≡ 1 [13]
2) , l'équation : 8y ≡ 1 [13]
Donc il existe tel que 8y =1 +13x <==> -13x +8y=1
13 et 8 sont premiers entre eux donc -13x +8y=1 admet au moins une solution.
On a -13×(-13) +8×(-21)=1 c'est à dire est solution de -13x +8y =1.
13 et 8 sont premiers entre eux. Donc et
Il existe k de Z tel que et
et
. ==>
Mais je n'arrive pas à répondre à la 3e question. Le reste ça va.
Bonjour,
Pour 3), utilise 2).
Mais ta conclusion de 2) n'est pas claire.
Dans 2), il y a une seule inconnue : y.
La conclusion de 2) doit donc donner l'ensemble des valeurs pour lesquelles y est solution.
Je te conseille de ne pas utiliser la lettre x dans 2) comme tu l'as fait, car x est déjà utilisé pour autre choses dans 1).
Bref, reprends 2) avant de chercher 3).
Rebonjour AZER1957,
Cette fois, c'est moi qui intervient trop tard.
Désolée, je n'avais pas vu ton message.
Attention pour 3), il y a une exigence : "En déduire" 
2) , l'équation : 8y ≡ 1 [13]
Donc il existe tel que 8y =1 +13u <==> -13u +8y=1
13 et 8 sont premiers entre eux donc -13u +8y=1 admet au moins une solution.
On a -13×(-13) +8×(-21)=1 c'est à dire est solution de -13x +8y =1.
13 et 8 sont premiers entre eux. Donc et
Il existe k de Z tel que et
et
. ==>
Pour 2), tu as trouvé -13×(-13) + 8×(-21) = 1 .
Plus simple : 13×13 + 8×(-21) = 1 .
Donc 8y = 1 +13u est équivalent à 8y = 13×13 + 8×(-21) + 13u .
équivalent à 8(y+21) = 13 (u+13).
Donc 13 divise y+21 : y = -21 + 13k avec k entier.
Réciproquement, si y = -21 + 13k avec k entier alors 8y = ....
On trouve que 8y 
1 [13]
Si (x,y) est solution de (E) alors, d'après 2), y = -21 + 13k avec k entier.
Remplacer dans (E) y par -21 + 13k peut peut-être mener quelque part.
Remarque : y = 5 + 13k' est plus sympathique.
Pas le temps de vérifier ou détailler ; je ne vais plus être disponible.
Mais ... 987+1 est un multiple de 13 et 611 aussi.
Sachant que y = -21 + 13k avec k réel revient à
y = 5 + 13k' avec k' réel.
Il suffit de poser k' = k-2
Au 3), il s'agit de trouver une solution de (E).
Essaye de trouver une solution avec y = 5.
Pas tout à fait au pif
Tu pouvais aussi tenter avec y = -21 ou n'importe quel y de la forme 5+13k.
Mais avec y = 0 ou 7, par exemple, ça n'aurait rien donné.
Il faut choisir un y tel que 1-47y
soit un multiple de 13.
Ce qui est équivalent au "8y 1 [13]" du 1).
Oui, n'importe quelles valeurs de y obtenues dans 2) permet de trouver une solution de (E).
Pour s'en convaincre, il suffit de loucher sur l'énoncé de 4).
3) est OK ou pose encore problème ?
Et 4) et 5) ?
Donc si je comprends bien , je choisis n'importe quelle valeur de y dans la solution de 8y ≡ 1 [13] et çà marche pour son x ?
Non , le reste ça va.
Merci
As-tu compris ceci : 1-47y multiple de 13 est équivalent à
8y
1 [13] ?
Si oui, lis ce qui suit.
En choisissant une solution quelconque b
de
8y
1 [13] , on aura 1-47b
multiple de 13.
En remplaçant y
par l'entier
b
dans (E), on obtient :
13x+47b = 1
13x = 1-47b où l'entier
1-47b
est un multiple de 13.
On peut donc trouver un entier x
qui vérifie l'égalité.
Il est donc normal que n'importe quel entier b solution de 8y
1 [13] permette de trouver un couple solution de l'équation (E).