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Equation diophantienne: différents résultats

Posté par
Bouboux
14-12-18 à 21:35

Bonsoir,

J'ai fait un exercice et j'ai obtenu un résultat différent de la correction. Retrouve t-on tous les couples (x, y) solutions en changeant la valeur de k dans les 2 cas ?

Il s'agit de l'exercice 2 (spé) question 1) b. https://www.ilemaths.net/maths_t-sujet-bac-09-S-14.php
Résultat obtenue dans la question précédente:
3u + 7v = 1
3 * -2 + 7 * 1 = 1, et en multipliant les 2 cotés par 10^(2n) on a:
3 * (-2 * 10^(2n) + 7 * (1 * 10^(2n) = 10^(2n)

Je suis parti de 3u + 7v = 1 en sachant que 3(u*10^(2n)) + 7(v*10^(2n)) = 1*10^(2n) (on multiplie par 10^(2n) de chaque côté):
3u + 7v - (3 * -2 + 7 * 1 ) = 0
3 * (u + 2) + 7 * (v - 1) = 0
3 * (u + 2) = 7 * (-v + 1)
7 ne divise pas 3 donc 7 divise (u + 2), ainsi il existe k, un entier relatif tel que: 7k = u + 2, u = 7k - 2
3*7k  = 7 * (-v + 1)
3k = -v + 1
-3k + 1 = v
On a donc:
3u + 7v = 1
3(u*10^(2n)) + 7(v*10^(2n)) = 1*10^(2n)
3((7k - 2)*10^(2n)) + 7((-3k + 1)*10^(2n)) = 1*10^(2n)
Ainsi on a x = ((7k - 2)*10^(2n)) et y = ((-3k + 1)*10^(2n))
(Et ça fonctionne, par exemple pour n = 2 et k = 3 on a: 3*(7*3 - 2 * 10^(2*2))+ 7*(-3*3 + 10^(2*2)) = 10000).

La correction:
3x + 7y = 10^(2n)
3 * (-2 * 10^(2n) + 7 * (1 * 10^(2n) = 10^(2n)
3x + 7y - (3 * (-2 * 10^(2n) + 7 * (1 * 10^(2n) ) = 0
3 * (x +2 * 10^(2n)) +  7 * (y -10^(2n)) = 0
3 * (x +2 * 10^(2n)) = 7 * (-y + 10^(2n))
3 ne divise pas 7 donc 3 divise (-y +2 * 10^(2n)) , ainsi il existe k, un entier relatif tel que: 3k =(-y + 10^(2n)), y = -3k + 10^(2n)
3 * (x +2 * 10^(2n)) = 7 * (-( -3k + 10^(2n)) + 10^(2n)) =  7 * 3k
x +2 * 10^(2n) = 7k
x = 7k - 2 * 10^(2n)
On obtient donc: x = 7k - 2 * 10^(2n) et y = -3k + 10^(2n)

Pouvez vous me dire quelle est la différence entre ces 2 résultats  s'il vous plait ? Aurais-je eu les points au bac avec ma façon de faire ?

Posté par
matheuxmatou
re : Equation diophantienne: différents résultats 14-12-18 à 23:28

bonsoir

d'une part :

on ne sait pas qui sont x et y dans la première version

d'autre part :

les équations
3(u*10^(2n)) + 7(v*10^(2n)) = 1*10^(2n)
et
3x + 7y = 10^(2n)
ne sont pas équivalentes...

et par ailleurs la justification du genre "3 ne divise pas 7 donc 3 divise ..." est totalement fausse ... la vraie justification est "3 est premier avec 7 donc ... "

Posté par
luzak
re : Equation diophantienne: différents résultats 14-12-18 à 23:40

Bonsoir !
Le corrigé résout l'équation 3x+7y=10^{2n} et toi tu résous 3(10^{2n})x+7(10^{2n})y=10^{2n} : aucune raison que les résultats soient les mêmes !

D'ailleurs, pour n=1, l'énoncé trouve la solution (-193,97) mais cette solution ne fait pas partie des formules que tu donnes !
Bref, ton "Et ça fonctionne" c'est de la poésie surréaliste !

Posté par
Bouboux
re : Equation diophantienne: différents résultats 15-12-18 à 00:54

Merci pour vos réponses !

luzak @ 14-12-2018 à 23:40

Bonsoir !
D'ailleurs, pour n=1, l'énoncé trouve la solution (-193,97) mais cette solution ne fait pas partie des formules que tu donnes !

Excusez-moi mais je ne vois pas où il est indiqué cela dans l'énoncé.

Posté par
Bouboux
re : Equation diophantienne: différents résultats 15-12-18 à 02:05

Ok je comprends, vous avez fait:
3 * -2 + 7 * 1 = 1
3 * -200 + 7 * 100  = 100
3 * - 200 + 3*7 +  7 * 100  - 7*3 = 100
3 * -193 + 7 * 97 = 100

Et effectivement, je ne peux obtenir -193 avec (7*k - 2) * 10^(2*n) mais avec ça 7*k - 2 * 10^(2*n) oui,  ce qui signifie que l'ensemble des solutions que j'ai trouvé n'est pas complet.
Merci !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation diophantienne: différents résultats 15-12-18 à 08:21

Bonjour,
En multipliant par 102n , tu démontres, plus ou moins clairement, que si (a,b) est solution de 3u+7v = 1 alors ( a102n , b102n ) est solution de (E) .
Tu n'obtiens que des solutions avec x et y multiples de 102n .

Ce que luzak a sans doute voulu dire :
La correction donne les solutions avec n et k . Quand on y remplace n et k par 1 , on trouve
(7-200 ; -3+100) .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation diophantienne: différents résultats 15-12-18 à 08:30

@matheuxmatou,
Une des conséquences du théorème de Gauss est :
Si p premier et p divise le produit ab , alors p divise a ou p divise b.
Ce qui serait correct dans la correction :
"L'entier 3 est premier et ne divise pas 7 ; donc 3 divise ... "

Posté par
matheuxmatou
re : Equation diophantienne: différents résultats 15-12-18 à 23:30

Sylvieg
oui, cette formulation fonctionne tout aussi bien que la mienne... mais il faut préciser "3 premier..." ce qui n'était pas présent.

Posté par
Bouboux
re : Equation diophantienne: différents résultats 16-12-18 à 00:36

D'accord, merci pour vos réponses !



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