si quelqu'un pouvait m'aider ce serait vraiment gentil...

On remarque que l'expression est symétrique.
Dès que x = 3 (avec y = 0), la somme des termes est supérieure à 19.

merci pour votre réponse, mais comment rédiger cela proprement et trouvant tous les couples de solutions?

Bonsoir,

Il faudrait préciser si on se limite à des entiers naturels ou s'autorise des entiers relatifs.
S'il s'agit seulement d'entiers naturels, en intégrant les deux remarques de pgeod, on peut tester les 9 cas {x = 0, 1, 2 et y = 0, 1, 2} et se limiter à 6 avec la symétrie.
Si on s'autorise les entiers relatifs, c'est autre histoire

c'est dans les entiers relatifs qu'une faut résoudre cette équation il me semble

salut

on peut commencer par montrer que x et y sont de parité différentes ...

bonjour

s'il s'agit bien de

x³(y+1) + y³(x+1) = 19

de toute façon x et y sont premier entre eux...

leur pgcd divisant 19 et ne pouvant valoir 19 car alors 19³ diviserait le membre de gauche... et pas celui de droite.

Comment faire ?
Je peux peut être utiliser le fait qu'un nombre pair s'écrit sous la forme 2k et un nombre impair 2k+1
(k appartenant à Z)
Ou alors une disjonction de cas?
Si x et y sont pairs alors au cubes il seront pairs également, alors que x ou y +1 sera impair, le produit sera donc pair, et en faisait la somme des deux nombres pairs obtenus, on obtient un nombre pair. Or 19 est impair donc x et y doivent être de parité différente ? Je ne sais pas si c'est très clair
Et que puis je faire après ?

Ah oui je comprends, ils sont premiers entre eux! Comment me servir de cette information ensuite ?

question : cet exercice sort de où ? car il me semble largement dépasser les exigences de terminale.

C'est un exercice donné par mon professeur, mais plutôt comme un défi car il n'est vraiment pas facile... j'ai redoublé ma terminale mais d'habitude en maths je n'ai pas de problème, mais j'avoue que cet exercice est vraiment  complexe 😭

Il ne faut pas pleurer
Si tous les exercices étaient faciles, les profs de maths deviendraient inutiles

je suis bien d'acord, c'est aussi agréable de chercher, mais je dois dire que je sèche sur cet exercice...

Bonjour,

moi j'ai un peu triché (quoique) dans le but d'avoir une conjecture :
j'ai tracé la courbe x^3(y+1)+y^3(x+1) -19 = 0



on retrouve la remarque de pgeod si x ≥ 3, on a -1 < y < 0 strictement donc ne peut pas être entier
et d'autres du même genre avec ces deux asymptotes (à démontrer)
permettant de limiter la recherche explicite et exhaustive à très peu de cas ...

passer dans R est parfois utile pour résoudre dans Z

bonjour, merci, c'est vrai qu'en visualisant la courbe c'est plus clair!
mais comment démontrer ce que l'on voit avec les asymptote (que y ne peut pas être entier) et en ce qui concerne l'asymptote verticale, je ne suis pas sur de voir en quoi elle peut m'aider... quand x se raproche de -1 (par valeurs inférieurs ou supérieurs) alors y tend vers +/- l'infini?
a quoi dois-je donc limiter ma recherche d'entiers?

l'asymptote verticale est une conséquence directe de la symétrie échangeant x et y et de l'asymptote horizontale.
démontrer l'asymptote horizontale est facile en divisant par x^3 ≠ 0
donc on ne cherche que pour x entre 0 et 3
et pour la partie négative pareil : x entre -3 et -1.



tout ceci doit être justifié "à la pgeod" par des inégalités à démontrer, comme celle "si x ≥ 3 et y ≥ 0 : x^3(y+1) + y^3(x+1) > 19"

Bonjour ,
Dans   
19=16+3
(1,2) et (2,1)
Dans Z ,  si x+1=0    alors   le  terme y^3(x+1)   s'annule   alors   x^3(y+1)=19    
x+1=0 si x=-1
x^3=-1
y+1=-19    
y=-20
(-1,-20) et (-20,-1)
  
  

compris pour l'asymptote verticale!
par contre, pour ce qui est de la démonstration de l'asymptote horizontale, ma question est peut être bête mais je ne vois pas comment faire, même en divisant par x^3...
j'obtiendrai (y+1)+(y^^3(x+1)-19)/x^3 mais comment arriver à la démonstration?

merci PLSVU pour votre réponse!
mais comment montrer que ce sont les seuls possibilités? en utilisant la courbe tracé?

démonstration de l'asymptote horizontale
non tu n'obtiens pas ça, tu obtiens

(y+1)+(y^^3(x+1)-19)/x^3 = 0
et quand x tend vers l'infini le seul terme qui reste est y+1, tout le reste tendant vers 0 (x/x^3 = 1/x^2 tend vers 0)
donc y tend vers -1

ceci dit rien ne permet avec ça de savoir si "avant l'infini" la courbe ne traverse pas son asymptote et donc une éventuelle solution avec y = -1
(cf PLSVU)
ça revient en échangent x et y à inclure x =-1 dans le domaine à essayer :
-3 < x ≤ -1

   dans
x^3(y+1)+y^3(x+1)=19

expression symétrique  

19<3³
somme de deux termes positifs
le plus grand terme possible est obtenu  quand l'un des termes est nul
x^3(y+1)=0  ssi  x^3=0  ou y+1=0
ssi  x=0  

  n'appartient pas à
ou
ssi y+1=0    y=-1 , -1  n'appartient pas à
ou
ssi y+1=0    y=-1 , -1  n'appartient pas à   
d'où   0<x<3
x=1  alors  
y
couples solution (1;2) par symétrie (2,1)
dans
y^3(x+1)  s'annule pour x=-1
x^3(y+1)=19
-1(y+1)=19
-y=20
y=-20
couples solution (-1;20) par symétrie (20,-1)

   x^3(y+1)+y^3(x+1)=19
cas pour   x<-1
  montre qu 'il n'y a pas de solution .
les deux  termes  de la somme peuvent être négatifs ou de signe contraire...




  
  


  

merci, juste une petite question, comment montrer que pour x inférieur à -1 il n'y a pas de solution?

on peut remarquer pour dire un peu autrement ce que dit mathafou que hormis les cas de nullité d'un des termes x + 1 ou y + 1 la simple règle des signes montre que si xy > 9 il n'y a pas de solution ...

il suffit donc d'étudier la bande -3 x 3 ( avec la symétrie de l'expression)

Excusez ma question, mais je ne vois pas comment montrer que si xy>9 il n'y a pas de solution...

xy > 9 signifie que x et y ont même signe ... entre autres informations ...

j'ai réussi! merci pour votre aide