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Niveau Licence Maths 1e ann
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Equation Diphoantienne

Posté par
jean469
20-12-21 à 15:08

Bonjour à tous, j'espère que vous passez tous de bonnes fêtes?

Je poste ce sujet car je dois résoudre une équation diophantiennes mais je voulais savoir si mes réponses sont bonnes svp?

Voici l'exercice :

1)A l'aide de l'algorithme d'Euclide montrer que les entiers 19 et 25 sont premiers entre eux.
2)Déterminer deux entier relatifs a et b tels que 19a+25b =1
3)En déduire tous les couples d'entiers relatifs (a,b) tels que 19a+25b=1.
Voici mes réponses :
  1)
25= 19 * 1 + 6
19= 6* 3 + 1
6 =6*1+0

Le PGCD est 1 , les nombres sont premier entre eux.

2)La solution particulière c'est (a,b) = (4;-3).
J'ai posé b = (1-19a)/25 pour trouver ces valeurs, et si je cherchais le b d'abord il fallait trouver un multiple de 19 qui convenait (pas évident).

3)Les solutions générales sont telles qu'il existe deux entiers k et k' tel que b =-19k-3.
Et a = 25k+4
k appartenant à Z.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Equation Diphoantienne 20-12-21 à 15:24

Bonjour

Pas mal du tout. Au début de 2) j'écrirais plutôt "une solution" est le couple (4;-3), puisque de toute façon on te les demande tous dans la question suivante.

Pour trouver ce couple tu as bricolé. or il existe une méthode générale.
On a d'après tes calculs 1=19-6*3.
La ligne précédente te dit que 6=25-19*1.
En remplaçant on trouve 1=19-3(25-19)=4*19-3*25.
C'est le même que celui que tu as trouvé, mais c'est direct!

Posté par
jean469
re : Equation Diphoantienne 21-12-21 à 12:40

Bonjour Camélia et merci beaucoup pour ton aide, effectivement j'ai un peu bricolé ^^.
Mais ta méthode est plus rapide et direct, je prend note

Posté par
Camélia Correcteur
re : Equation Diphoantienne 21-12-21 à 16:47

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation Diphoantienne 21-12-21 à 18:13

Bonjour,
Un problème avec la conclusion :
Il y a un k' qui ne semble pas servir.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Equation Diphoantienne 22-12-21 à 16:07

Oui, Sylvieg il y a un seul paramètre dans la solution. Comme celle-ci est juste, j'ai supposé qu'il s'agit d'un reste de coupé-collé où on n'a pas assez coupe!

Posté par
jean469
re : Equation Diphoantienne 27-12-21 à 19:33

Sylvieg @ 21-12-2021 à 18:13

Bonjour,
Un problème avec la conclusion :
Il y a un k' qui ne semble pas servir.


Oui effectivement il n'y a pas de k' mais que du k merci!

Posté par
jean469
re : Equation Diphoantienne 27-12-21 à 19:34

Camélia @ 22-12-2021 à 16:07

Oui, Sylvieg il y a un seul paramètre dans la solution. Comme celle-ci est juste, j'ai supposé qu'il s'agit d'un reste de coupé-collé où on n'a pas assez coupe!
Il s'agissait d'une erreur en effet!



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