Bonsoir,

Je dois trouver une équation de la perpendiculaire commune à deux droites D et D'.

D = x-y+z+1=0 et 2x+y-z=0 (donc D intersection de deux plans)
D'= x+2y+x=0 et 2x-2y-2z-1=0 (donc D' intersection de deux plans).
>> J'ai caculé un vecteur normal pour chacun des plans de D (par exemple) et après j'ai fait le produit vectoriel des deux vecteurs pour trouver un vecteur directeur de D , idem pour D' et après j'ai fait le produit vectoriel du vecteur de D et D' qui a pour coordonnées (6,6,6) mais après je ne sais que faire.

Merci

*** message déplacé ***

Bonjour.
Je ne trouve pas le même vecteur directeur que toi : n(5,1,-1) (à confirmer).
Pour la suite, tu prend l'ensemble de tous les plans passant par D :
u(x - y + z + 1) + v(2x + y - z) = 0, où (u,v) est un couple de réels distinct de (0,0).
Et, parmi tous ces plans, tu cherches celui dont la direction contient le vecteur n.
Soit (P) ce plan.
Tu fais de même pour D' et tu trouveras un plan (P').
La perpendiculaire commune est l'intersection de (P) et de (P').
A plus RR.

Salut,

la méthode me paraît juste, donc u(1;1;1) dirige ta perpendiculaire commune .
Après il faut trouver par quelspoints elle passe.Soit A(a,b,c) et B(d,e,f) despoints de D et D'.
Tu cherches a,b,c,d,e,f pour que le vecteur AB soit colinéaire à u.

Ecris que a-b+c+1=0, 2a+b-c=0 puisque A est sur D
et que d+2e+f=0 et 2d-2e-2f-1=0 puisque B est sur D'.

La condition de colinéarité s'écrit d-a = e-b = f-c, ce qui fait 6 équations pour 6 inconnues...Le compte y est!!

*** message déplacé ***

D'= x+2y+x=0 c'est bien sûr pas x à la fin mais z ^^

Pas de problème pour ça, j'avais rectifié.
Revois ton calcul du vecteur n.
Que penses-tu de mon procédé ?
A plus. RR.

Autre méthode: celle de Raymond
Troisième méthode: Parmi l'ensemble des couples (A,B) de DxD', celui qui donne la perpendiculaire commune est aussi celui qui réalise le minimum de la distance AB.

*** message déplacé ***

Bonjour Raymond

Je trouve le même vecteur n que toi.
j'avais oublié ta méthode, elle est élégante!
Tigweg

je trouve (0,3,-1) comme vecteur directeur de D et (-2,4,-6) pour D', c'est bon ?

J'ai (0,3,3) pour D et comme toi pour D'

effectivement

"u(x - y + z + 1) + v(2x + y - z) = 0, où (u,v) est un couple de réels distinct de (0,0)."
>> je ne comprends "trop" cette proposition, on multiplie un réel par l'équation d'un plan ?!

Merci beaucoup en tout cas

Bonjour Tigweg.
Cette méthode fait partie de la théorie des faisceaux de plans. Je l'ai enseignée en spé il y a longtemps et je ne sais plus si elle est encore au programme actuellement.

Poun :
1°) je trouve d(0,3,3) et d'(-2,4,-6) que l'on peut transformer en (0,1,1) et (1,-2,3).
Ce qui me donne : n(5,1,-1)
2°) Soient f(x,y,z) = 0 et g(x,y,z) = 0 les équations de deux plans (P) et (P') sécants en une droite (D).
Alors, pour tout couple (u,v) distinct de (0,0) l'équation : (uf + vg)(x,y,z) = 0 est encore celle d'un plan (Q(u,v)) variable qui contient (D), puisque sur (D) on a à la fois f(x,y,z) = 0 et g(x,y,z) = 0.
(Q(u,v)) est l'ensemble de tous les plans passant par (D) : c'est le faisceau de plans d'arête (D).
A plus RR.

OK Raymond

Par contre, y a t il un argument simple (sans passer par la dualité ou l'orthogonalité) pour montrer que si un plan passe par une droite D, alors il admet une equation cartesienne combinaison linéaire des équations de D?

Tigweg

(L'autre implication étant triviale )

Excellente question ! Je vais réfléchir.
A plus RR.

Merci beaucoup, prends ton temps

je trouve que la perpendiculaire commune a pour équation l'intersection de P et P' tels que :

3u'+5v'=0
et
u+3v=0
..

J ai u+4v=0 et 2u'+3v'=0

Poun.
Tu peux donc choisir : u = 3 et v = -1, puis u' = 5 et v' = -3.

Titweg.
Je n'arrive pas à me passer de l'orthogoalité.
Soit (D) définie comme intersection de deux plans (P) et (P') d'équations f(x,y,z) = 0 et g(x,y,z) = 0. Un vecteur directeur d de (D) est donnné par d = n ^ n' où n et n' sont deux vecteurs normaux aux plans.
Soit alors (P") un plan passant par (D) : sa partie vectorielle contient donc d. Cela signifie que son vecteur normal n" sera orthogonal à d. Et s'il en est ainsi, il sera dans le plan vectoriel engendré par n et n'. Donc n" est lié à n et n' : n" = u.n + v.n' (u,v) € R².
Rentrons dans les détails :
(P) : ax + by + cz + d = 0
(P') : a'x + b'y + c'z + d' = 0
Alors (P") : (ua+va')x + (ub+vb')y + (uc+vc')z + d" = 0
En remplaçant, -ud - vd' + d" = 0.
Je crois qu'il n'y a pas de faille.
A plus tous les deux. RR.

Bien vu Raymond, oui oui c'est bien cela que j'appelais une preuve élémentaire
J'entendais "orthogonalité" au sens de la dualité, c'est-à-dire lorsqu'on définit l'orthogonal d'un vecteur x comme l'ensemble des formes linéaires qui l'annulent, et vice versa.
J'avais peur qu'il ne faille recourir à une démonstration dans l'orthogonal (en ce sens), qui aurait été plus abstraite, et donc moins "visuelle"

Merci encore!

Tigweg

j'ai bien u+3v, vous avez dû oublier le "1"

merci à vous !

Poun :
C'est vrai que les calculs sont bien fastidieux, de toute façon, dans l'espace.
En fait, j'ai repris les calculs, et je trouve pour conditions :
u + 4v = 0 et 3u' + 5v' = 0.
Je vais tenter de chercher la perpendiculaire commune autrement pour comparer.
A plus RR.

décidémment on ne trouve pas la même chose ^^
car, quand j'ai ces deux équations de plan, je dois encore trouver l'équation finale de la perpendiculaire..^^ : qui doit en fait me servir pour calculer la distance entre D et D' lol

merci

Je te confirme u+3v=0, par contre j'ai bien 2u'+3v'=0 , j'en suis sûr!
Tu as trouvé les équations de la perpendiculaire commune, Poun?

Tigweg

je trouve :

x-4y+4z+3=0 et -x+10y+7z+2=0. sauf que l'on me demande une équation ^^

Non, il t'en faut 2!
LES équations d'une droite dans l'espace sont celles de deux plans ayant cette droite pour intersection

oki merci à vous