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Niveau Reprise d'études
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Equation du 2nd degré à 1 inconnue

Posté par
Suzu67
06-12-21 à 08:47

Bonjour à tous,

Tous d'abord je souhaite remercier par avance ceux qui prendront le temps de m'aider (sachant que ce n'est pas ma matière de prédilection, je risque d'être un peu lourde, désolée ^^)

Voici mon énoncé:

Considérons l'équation (1) a*ln(R*x)+b=x-1

avec a, b et R strictement positif

Soit (2) F(x)=a*ln(Rx)+b-x-1

1) Quel est le domaine de définition de F.
2) Exprimer mathématiquement F'(x)
3) Déduire du résultat précédent que la fonction F est strictement croissante
4) Montrer que limx==>0 F(x) = - infini
et limx==>+infini F(x)= + infini à partir des limites usuelles des fonctions ln et x==>x-1
5) En déduire que l'équation 1 a une unique solution

Commençons par le début:
1) pour que ln (Rx) soit vraie il faut que Rx>0
soit x>1/R
Ensuite je sais que x-1 = 1/x
donc x doit être différent de 0 non?

Pour moi le domaine de définition c'est donc ]1/R;+infini[

Est-ce correct jusque là?

2) Ensuite je dois résoudre l'équation (2) il me semble.
Ou alors il vaut mieux résoudr (1) et le replacer dans (2)?

Pour (1) je pense que l'on peut raisonnablement dire que:
a*ln(Rx)+b-1/x=0

Mon problème est que entre le ln et la fraction je n'arrive pas à isoler x.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
En attendant une réponse je vous souhaite à tous une bonne journée ^^.

Posté par
malou Webmaster
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 06-12-21 à 09:15

Bonjour

x 0, oui pour la fraction

Rx > 0 pour le log, oui, mais ensuite ta résolution n'est pas juste
R est un réel strictement positif, donc il suffit que x > 0 pour que le produit le soit

au final, Df=R+*

2) on ne te demande pas de résoudre l'équation, mais seulement de démontrer (en suivant les questions posées) qu'il existe une solution, c'est différent

Posté par
Suzu67
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 06-12-21 à 11:31

Merci beaucoup malou!

Je pensais qu'il fallait que j'arrive à résoudre voir simplifier mon équation (1) puis la mettre dans (2) avant de faire la dérivée.

Cela ne doit avoir aucun sens, désolée.

Donc dans la question 2) je dois dériver
F(x)=a*ln(Rx)+b-x-1

Voilà ce que j'ai fait pour le moment.
F'(x)= (a*ln(Rx))' + b+1/x2
F'(x)= a*((Rx)'/(Rx))+b+1/2
F'(x)= a*Rx'/Rx + b +1/x2
F'(x) = a*R/Rx + b + 1/x2
F'(x) = a*1/x + b +  1/x2
F'(x) = a/x + b + 1/x2           'en mettant au même dénominateur x2 j'obtiens

F'(x) = ax + b + 1

Cela me semble bizarre.  Pourrais-tu me guider pour que je sache où est mon (sont mes ^^) erreur (s) s'il te plaît?

Merci d'avance

Posté par
Suzu67
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 06-12-21 à 11:45

Re,

J'ai oublié de préciser que F(x) est dérivable sur R+*

Merci encore

Posté par
DOMOREA
Equation du 2nd degré à 1 inconnue 06-12-21 à 11:57

bonjour,
b est une constante, revois ta  dérivée
au résultat final pourquoi as tu escamoté le dénominateur ?

Posté par
Suzu67
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 06-12-21 à 12:14

Bonjour et merci beaucoup pour ton aide Domorea.

Ah oui
b' =0

Pour le dénominateur c'est le fait que je n'ai pas dérivé b correctement qui a tout faussé.

si je reprends donc
F'(x)= (a*ln(Rx))' + 1/x2
F'(x)= a*((Rx)'/(Rx))+1/x2
F'(x)= a*Rx'/Rx +1/x2
F'(x) = a*R/Rx + 1/x2
F'(x) = a*1/x + 1/x2
F'(x) = a/x + 1/x2
F'(x) = ax/x*x + 1/x2

F'(x)= (ax+1) / x2

C'est bien ça?

Posté par
Leile
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 06-12-21 à 12:39

bonjour,
en attendant le retour de DOMOREA, à qui je laisserai la main,

oui, ta dérivée est correcte selon moi.

Posté par
Suzu67
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 06-12-21 à 13:06

Bonjour et merci beaucoup Leile,

(Que d'aide je suis vraiment rassurée de savoir qu'il y a des gens qui sont prêts à m'aider à corriger mes erreurs, souvent stupides j'en conviens, mais cela me motive grandement)

Donc si ma dérivée est juste, pour mon 3) je reprends ma dérivée et étudie le signe de mes différents éléments.

F'(x)= (ax+1) / x2

a étant une constante strictement positive (ax+1) est positif.
(Ici je ne sais si je peux dire que x est strictement positif suivant le domaine de définition de F(x) );

x2 est positif donc je peux en conclure que F'(x) >=0

la dérivée ne s'annule que si x = -1/a (numérateur ax+1=0) or -1/a ne fait pas partie du domaine de définition.

On peut en déduire que F'(x) est strictement croissante sur ]0;+\infty[

Je suis toujours sur le bon chemin?

Posté par
DOMOREA
Equation du 2nd degré à 1 inconnue 06-12-21 à 13:26

oui c'est bon,
avec les limites demandées, tu devrais t'en sortir facilement avec un théorème du cours

Posté par
Suzu67
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 06-12-21 à 14:44

Super ^^,

J'ai dû partir travailler.

Je posterais mon résultat pour avoir une correction de votre part demain au plus tard.

(je laisse le sujet encore ouvert vu que j'ai pas finis l'exercice)

Merci encore de votre patience et pour vos indications.
Cela m'a grandement aidé ^^.

Posté par
Suzu67
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 07-12-21 à 12:08

Bonjour,

Je continue sur mon énoncé (en espérant votre aide pour m'aider à cibler mes erreurs )

4) pour les limites j'ai fait ceci:
Pour tout x sur ]0;+\infty[
et les constantes a, b et R strictement positives.
limx\Rightarrow0 Rx = 0
limx\Rightarrow0ln(Rx)=-\infty
limx\Rightarrow0a=a
limx\Rightarrow0b=b
donc
limx\Rightarrow0a*ln(Rx)+b= a* -\infty+b = -\infty

limx\Rightarrow0-x-1=limx\Rightarrow0-1/x= -\infty

Par conséquent:
limx\Rightarrow0F(x)=-\infty


Ensuite pour limx\Rightarrow+\inftyF(x)

limx\Rightarrow+\inftyRx=+\infty
limx\Rightarrow+\inftyln(Rx)=+\infty
limx\Rightarrow+\inftya*ln(Rx)=+\infty

limx\Rightarrow+\infty1/x=0
limx\Rightarrow+\inftyb-1/x=b

donc
limx\Rightarrow+\infty F(x)=+\infty


J'ai plus de soucis pour le 5) dois-je résoudre l'équation et faire un tableau de variation? ou il y a une déduction plus simple que je ne vois pas?

Merci d'avance de votre aide et en attendant une réponse bonne journée à tous

Posté par
Suzu67
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 08-12-21 à 08:04

Bonjour,

Je vais un petit "up" histoire de remettre mon sujet dans les 1er
En attendant une réponse passez une bonne journée! ^^

Posté par
Leile
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 08-12-21 à 11:46

bonjour,

encore en passant :
pour la 5) connais tu le théorème des valeurs intermédiaires ? (autrefois appelé théorème des gendarmes ).
Tu peux l'appliquer puisque la fonction est strictement croissante (cf. question 3).

Posté par
Leile
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 08-12-21 à 11:52

oups, posté trop vite !
précise pour appliquer ce théorème que la fonction est  continue et strictement croissante.

Posté par
hekla
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 08-12-21 à 12:35

Bonjour Leile
Il n'y a aucun rapport entre le TVI et le théorème des gendarmes

le premier concerne l'existence d'une solution unique vérifiant f(x)=\lambda sous conditions
le théorème des gendarmes concerne la limite d'une fonction que l'on sait encadrer par deux fonctions de même limite

Posté par
Leile
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 08-12-21 à 12:47

bonjour hekla,
perso, j'ai appris (il y a très longtemps, je l'avoue) le théorème des gendarmes avec des valeurs, comme le TVI.
A moins que ma mémoire me fasse défaut.. C'est possible  (vu mon  âge ?).  

Posté par
Suzu67
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 18-12-21 à 02:45

Bonjour à tous,

Désolée pour le message tardif mais je souhaitais juste vous remercier pour vos réponses.

J'ai réussie à m'en sortir grâce à vous.

Bonne soirée ^^

Posté par
Suzu67
Résolution d'équation du 2nd degré 18-12-21 à 03:06

Bonjour à tous,

Tous d'abord je souhaite remercier par avance ceux qui prendront le temps de m'aider (sachant que ce n'est pas ma matière de prédilection, je risque d'être un peu lourde, désolée ^^)

Voici mon énoncé:

Considérons l'équation (1) a*ln(R*x)+b=x-1

avec a, b et R strictement positif

Soit (2) F(x)=a*ln(Rx)+b-x-1

De mes précédentes réponses (autre sujet donc je ne m'attarderais pas sur le procédé) sais que F(x) est:

- définie sur ]0;+\infty[
- strictement croissante
- a une limite de -\infty lorsque x tend ves 0
- a une limite de +\infty lorsque x tend vers +\infty
- Possède une unique solution

On cherche à résoudre l'équation (2) en la variable f donnée par:

\frac{1}{\sqrt{f/2}}= a*ln(R{\sqrt{f/2}}) +b

Exprimer mathématiquement f en fonction de la solution x de l'équation (1)

Cette question me pose problème

Je dois résoudre l'équation (1)

Pour (1) je pense que l'on peut raisonnablement dire que:
a*ln(Rx)+b-1/x=0

Mon problème est que entre le ln et la fraction je n'arrive pas à isoler x.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
En attendant une réponse je vous souhaite à tous une bonne journée ^^.

*** message déplacé ***

Posté par
verdurin
re : Résolution d'équation du 2nd degré 18-12-21 à 07:14

Bonjour,
on ne te demande pas de résoudre l'équation (1).

Tu as vu dans le début de l'exercice que cette équation avait une solution unique.
On appelle x  cette solution, ce qui est maladroit, on aurait pu l'appeler autrement.

Ici on te demande de calculer f en supposant x connu.

*** message déplacé ***

Posté par
Suzu67
re : Résolution d'équation du 2nd degré 18-12-21 à 09:54

Bonjour,

Mais j'ai juste utilisé le théorème du corollaire du TVI pour explique que vu les caractéristique de la F(x) celle-ci ne possède qu'une solution. Je n'ai pas spécifié laquelle.

Par contre, par une autre partie de l'exercice, j'ai trouvé une valeur x2=0.14 par l'Algorithme de Newton (Python).

Dois-je prendre cette valeur, et dire que:

x2=\sqrt{f/2}

\sqrt{f/2}=0.14 si je résous:

f/2=0.14²
f/2=0.0196
f=0.0196*2
f=0.0392

Est-ce cela? Si c'est le cas j'ai paniqué pour rien

*** message déplacé ***toutes les questions se rapportant à un même problème doivent être postées dans le même sujet ***

Posté par
Suzu67
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 18-12-21 à 10:12

Re bonjour,

J'ai continué  à chercher et comme on m'a demandé d'exprimer mathématiquement ma réponse précédente est peut-être fausse.

Je dois garder x et exprimer f en fonction de x.

\sqrt{f/2}=x

\Leftrightarrow f/2=x²

\Leftrightarrow f=2x²

Est-ce correct?

Merci d'avance pour vos commentaires et bonne journée à tous ^^

Posté par
verdurin
re : Equation du 2nd degré à 1 inconnue 18-12-21 à 12:54

C'est ça



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