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équation du second degré

Posté par
kikipopo
04-10-21 à 21:37

Bonjour,
On considère l'équation
(m-2)x2 +2mx -1où m est un nombre réel.
1. résoudre l'équation lorsque m = 2
2. Chercher, en supposant que m\neq2Déterminer les différentes valeurs de m pour lesquelles
a. l'équation admet une unique solution réelle,
b. l'équation admet deux solutions réelles.

1 : lorsque m = 2, -4x -1 = 0
\Rightarrowx= -\frac{1}{4}

2.pour que l'équation admette une unique solution quand m\neq2, il faut que\Delta :  b2-4ac =0
4m2- 4[(m-2)(-1)
4m2 +4 m-8
4[(m+2)2 - 4] -8
(m+2)2-16-8
(m+2)2-24
Je ne sais plus quoi faire.

Merci

Posté par
hekla
re : équation du second degré 04-10-21 à 21:50

Bonsoir

Pourquoi le signe -

4x-1=0 \iff x=\frac{1}{4}

 m\not=2  on a bien une équation du second degré

 \Delta=0

 (2m)^2+4(m-2)= 4m^2+4m-8 =4(m^2+m-2)

On cherche les valeurs de m pour lesquelles  m^2+m-2=0

\delta=1+8=9


deux solutions   m_1=\dfrac{-1+3}{2}=1 ou   m_2=\dfrac{-1-3}{2}=-2


Pourquoi voulez-vous l'écrire sous forme canonique ?  Si vous mettez 4 en facteur  il ne vous reste qu'un m


4m^2+4m-8=4(m^2+m)-8=4\bigg((x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}\bigg)-8

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 04-10-21 à 22:26

Pour le - \frac{1}{4} c'est une erreur en recopiant.
oui, c'est plus simple en mettant 4 en facteur.
Mais je n'ai pas compris comment trouver la valeur de m pour que \Delta = 0

Posté par
hekla
re : équation du second degré 04-10-21 à 22:30

\Delta est un trinôme du second degré  on le traite donc comme les autres

et pour qu'il n'y ait pas d'homonymie  je l'ai noté \delta

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 04-10-21 à 22:59

oui, pour \delta j'avais compris.
\Delta = b2-4ac = 0  b = \sqrt{8} ?

Posté par
hekla
re : équation du second degré 04-10-21 à 23:03

\Delta=4m^2+4m-8=4(m^2+m-2)

 a=1 \quad b=1 \quad c=-2

\delta =1^2-4\times 1\times (-2)=1+8=9

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 04-10-21 à 23:11

oui, \delta= 9 > 0 l'équation à 2 solutions, c'est pour m =1

\Delta = 0     m = ?

Posté par
hekla
re : équation du second degré 04-10-21 à 23:16

m=-2     voir 21: 50

L'équation (m-2)x^2+2mx-1=0 admet une racine double  ou une seule solution si m=1 ou m=-2

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 04-10-21 à 23:26

si \delta>0 (9) deux solutions m= 1 ; m = -2
si \Delta = 0, <i>l'équation  n'admet  qu'une solution</i> , m= ?

Posté par
hekla
re : équation du second degré 04-10-21 à 23:29

Qu'est-ce qui ne va pas ?

On a bien montré que l'équation n'admettait qu'une solution si m=1 ou m=-2

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 04-10-21 à 23:43

Il ne faut pas tenir compte de ce texte, je ne sais pas comment il est arrivé dans ma réponse.
si \Delta = 0, <i>l'équation  n'admet  qu'une solution</i> , m= ?
Concernant le problème, je dois répondre à deux questions :
1-pour quelle valeur de m l'équation n'admet qu'une unique solution réelle.
2 - pour quelles valeurs de m l'équation admet deux solutions réelles.
On a bien répondu à la deuxième question, mais pour moi pas à la première.

Posté par
hekla
re : équation du second degré 04-10-21 à 23:53

Non on a bien répondu à la première question
l'équation n'a que solution lorsque \Delta=0 et on a montré que ce \Delta valait 0 lorsque l'on donnait à  m la valeur 1 ou -2

Pour vous en convaincre lorsque l'on donne à m la valeur 1 l'équation devient -x^2-2x-1=0, c'est-à-dire -(x+1)^2=0

On pourrait faire de même avec -2

Maintenant on passe à la question 2 \Delta >0 Pas besoin de refaire tous les calculs

signe d'un trinôme

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 05-10-21 à 00:19

\Delta = 0 pour deux valeurs de m .
Merci.
Bonne fin de nuit

Posté par
hekla
re : équation du second degré 05-10-21 à 00:24

On reprend tout à l'heure  ?

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 05-10-21 à 00:28

D'accord, J'espère que j'aurai trouvé la solution.

Posté par
hekla
re : équation du second degré 05-10-21 à 00:29

Vers quelle heure  ?
Bonne nuit

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 05-10-21 à 00:33

Vers 9h.
Merci.
Bonne nuit

Posté par
hekla
re : équation du second degré 05-10-21 à 00:35

D'accord

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 05-10-21 à 09:11

Bonjour,

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & -2 & & 1 & & +\infty & \\ {signe} & & + & 0 & + & 0 & + & & \\ {variation} & & \searrow & & \searrow & & \nearrow & & \end{array}

Je ne comprends toujours pas comment un polynôme du second degré peut avoir 2 \Delta =0

J'ai regardé les formules pour résoudre les équations du second degré.
on dit que lorsque \Delta = 0 il n' y a qu'une solution qui correspond à l'extremum de la fonction  qui est égal à \frac{-b}{2a}
et lorsque \Delta >0 on à deux solutions qui correspondent aux intersections de la courbe avec les abscisses

Posté par
hekla
re : équation du second degré 05-10-21 à 09:44

Bonjour

L'équation admet deux solutions distinctes

 \Delta >0 soit 4(m-1)(m+2)>0

Soit  \Delta >0 un trinôme est du signe de a sauf entre les racines

Donc \Delta >0 si m\in]-\infty~;~1[\cup]1~;~2[\cup]2~;~+\infty[

Soit tableau de signes
équation du second degré

Ne pas oublier que l'on travaille sur \R\setminus\{2\}


Dans l'exercice l'équation dépend d'un paramètre m  c'est pour ces valeurs 1  et -2 que  \Delta est nu.l  Il n'y a bien qu'un \Delta

Si on le notait \Delta_m pour bien montrer qu'il dépend de m est-ce que ce serait plus « parlant » ?

Le sommet de la parabole est bien unique,  mais comme vous avez toute une famille de parabole  il change selon la valeur de m

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 05-10-21 à 10:43

Merci.
Oui, je comprends que \Delta dépend de m,

Ce qui me bloque c'est la question de la solution unique réelle et de deux solutions réelles.

si m = -2 et m=1  on a deux solutions.
Pour \Delta>0 , il fallait  factoriser l'équation .

Ma tentative d'utiliser Latex pour le tableau n'est pas très réussie, Il faut que je trouve comment ça fonctionne : autant la première ligne est simple, les autres beaucoup moins.

Posté par
hekla
re : équation du second degré 05-10-21 à 10:48

Vous avez bien une solution unique à l'équation (m-2)x^2+2m-1=0 pour m=1 ou pour m=-2

L'une  est une équation en x  l'autre est une équation en m.

On ne joue pas dans la même cour. Dans le premier cas une unique solution en x, dans le second  deux solutions en m

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 05-10-21 à 11:16

D'accord, je vais essayer avec un autre exercice.

Je crois que j'ai compris.

Merci beaucoup.

Bonne journée

Posté par
hekla
re : équation du second degré 05-10-21 à 11:20

S'il reste des doutes, il faut les lever. N'hésitez pas.
De rien
Bonne journée  
Au prochain exercice

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré 05-10-21 à 11:30

Merci beaucoup.
Au prochain exercice



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