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équation du second degré ; approfondissement

Posté par
pppa
02-08-17 à 16:58

Bonjour

besoin d'aide pour terminer une démonstration svp

1/ Montrer que l'équation \dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b} = c admet toujours 2 solutions distinctes, lorsque c 0 et ab.
FAIT : après réduction au même dénominateur, développements et simplifications, je trouve j'aboutis à une équation du second degré
dont le discriminant   = c²(a-b)² + 4, donc toujours positf

(pour c = 0 ou a = b, on est en présence d'une équation de degré 1)

Les 2 solutions sont :

x_1 = \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{2-\sqrt{\Delta}}{2c}
et
x_2 = \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{2+\sqrt{\Delta}}{2c}

2/ Montrer - en supposant a < b - que l'une des solutions est comprises entre a et b

Malgré différentes tentatives, et notamment en faisant des hypothèses sur le signe de c et en étudiant x_1-a, b-x_1, x_2-a, b-x_2, je n'arrive pas à établir  a<x1<b  ou a<x2<b , non plus qu'en faisant un raisonnement par l'absurde ( 2 solutions inférieures à a ou supérieures à b...)

C'est là que j'ai besoin de votre aide .

Merci par avance

Posté par
GreenT
re : équation du second degré ; approfondissement 02-08-17 à 17:47

Bonjour ,
Je pense qu'une solution en analytique est plus adaptée

Si on pose :  f(x) = \frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b}   et    a < b

Regarde les limites en a et en b de la fonction f

Posté par
pppa
re : équation du second degré ; approfondissement 02-08-17 à 18:38

>>GreenT

Si je suis ton idée, voilà le raisonnement que je conduis :

Lorsque x tend vers a par valeurs supérieures, f(x) tend vers +

Lorsque x tend vers b par valeurs inférieures, f(x) tend vers -

f est une fonction rationnelle, donc continue sur son domaine de définition, qui contient ]a;b[,

en appliquant le TVI, je peux en déduire, il existe au moins une valeur de x qu appartient à ]a;b[ (et au plus deux, puisque....) telle(s) que f(x) =0 ; pour statuer sur l'unicité de la solution , il faudrait pouvoir statuer sur la stricte monotonie de f sur ]a;b[, ce qui complique l'étude vu l'énoncé.

Assurément ton idée est astucieuse, encore que (mais tu ne peux pas le savoir) l'exercice est tiré d'un ouvrage dans lequel l'exercice est demandé avant l'étude des limites et des dérivées, donc je pense qu'il doit/devrait y avoir une astuce basée sur le seul traitement des coefficients...

Merci de t'être intéressé à mon cas, et si toi ou une autre personne avez une autre idée, n'hésitez pas, ça m'intéresse

Posté par
Priam
re : équation du second degré ; approfondissement 02-08-17 à 22:20

En ce qui concerne la stricte monotonie, on pourrait considérer que la fonction  f  est la somme de deux fonctions du type "fonction inverse", constamment décroissantes.

Posté par
pppa
re : équation du second degré ; approfondissement 02-08-17 à 22:30

>> Priam
C'est vrai
Ca permet de conclure mathématiquement....(même si je reste persuadé qu'il pourrait/devrait y avoir une explication se basant sur les seules solutions et coefficients a,b et c)...
merci pour ton intervention

Posté par
pppa
re : équation du second degré ; approfondissement 03-08-17 à 09:38

En fait, c'est la fonction

f(x) = \dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}-c qu'il faut étudier

Si ça ne change rien à l'étude des limites en a et b

le signe de f'(x) n'apparaît pas de façon évidente pour pouvoir statuer sur la stricte monotonie sur ]a;b{

Posté par
Glapion Moderateur
re : équation du second degré ; approfondissement 03-08-17 à 12:51

Citation :
le signe de f'(x) n'apparaît pas de façon évidente pour pouvoir statuer sur la stricte monotonie sur ]a;b{

pourtant f '(x) = -1/(x-a)² -1/(x-b)² et on voit bien que c'est négatif !

Posté par
pppa
re : équation du second degré ; approfondissement 03-08-17 à 14:08

>> Glapion : tout à fait, je ne sais pas pourquoi, j'avais mis u'v-uv au numérateur des dérivées ce matin.

Passons ! Merci

Posté par
lake
re : équation du second degré ; approfondissement 04-08-17 à 10:04

Bonjour pppa,

Autre solution:

  On peut prouver que:

    (x_1-a)(x_1-b)(x_2-a)(x_2-b)=-\left(\dfrac{a-b}{c}\right)^2<0

    on en déduit que les quantités (x_1-a)(x_1-b) et (x_2-a)(x_2-b) sont de signes contraires.


  

Posté par
pppa
re : équation du second degré ; approfondissement 04-08-17 à 14:33

Merci beaucoup Lake pour cette  piste lumineuse, et qui je pense correspond à ce qui était attendu, même si les autres idées étaient intéressantes.

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