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équation du second degré avec changement de variable

Posté par
kikipopo
05-10-21 à 21:37

Bonsoir,
1 a. résoudre dans R l'équation 15X2+ 11X -14 =0
b. utiliser un changement de variable pour résoudre R\ {2} l'équation \frac{15}{\left(x-2 \right)^{2}}} +\frac{11}{x-2}-14 =0
2 utiliser la même méthode pour résoudre dans R l'équation
-7x ++2\sqrt{x+9=0
1 \Delta = b^{2} -4ac
a = 15  ;  b= 11  ; c = -14
\Delta= 719 >0 \Leftrightarrow

x1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{-121-\sqrt{719}}{30 } =-37,81
x2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} =15,81
2 \left(x-2 \right)^{2}=X^{2} et \left(x-2 \right)= X
\frac{15}{X^{2}}+\frac{11}{X}-14=0
a  = 15/1  ; b= 11/1  c= -14
\Delta = 719
2 solutions sont les mêmes que pour le point 1 et je dois en trouver 2 autres

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 05-10-21 à 21:46

Bonsoir


  On pose X=\dfrac{1}{x-2} l'équation devient 15X^2+11 X-14=0


 \Delta=11^2+4\times 14\times 15= 961=31^2

donc erreur de calcul

vous avez encore pris b^2 a et pourtant vous l'aviez bien écrite !

X_1=\dfrac{-11-31}{30}\quad X_2=\dfrac{-11+31}{30}

Maintenant résolvez  \dfrac{1}{x-2}=- \dfrac{7}{5} ainsi que la seconde

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 05-10-21 à 21:49

J'ai répondu dans le désordre

les solutions de 15X^2+11X-14=0 sont  \dfrac{-7}{5} et \dfrac{2}{3}

question b on fait le changement de variable

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 05-10-21 à 22:55

\frac{1}{x-2}= -\frac{7}5{}
\frac{1}{x-2}+\frac{7}5{}=0
\frac{5+7x-14}{5x-10}=\frac{7x-14}{5x-10\Leftrightarro} =\frac{7(x-2)}{5(x-2)}=0

\frac{1}{x-2}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{x-2}-\frac{2}{3}=0\Leftrightarrow \frac{3-2x+4}{3(x-2)}=0

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 05-10-21 à 23:16

Comment calculez-vous ? 5-14=14 !!

On pouvait aussi faire le produit en croix

5=-7(x-2) \iff  5=-7x+14 \iff 7x=14-5 d'où x=\dfrac{9}{7}\not=2

3=2(x-2) \iff 3=2x-4 doù x=\dfrac{7}{2} \not=2

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 05-10-21 à 23:52

J'ai fait des erreurs en recopiant , c'est bête.
2) -7x + 2\sqrt{x}+9
comment faire pour déterminer la nouvelle variable ?
-7x = -7\left(\sqrt{x} \right)^{2}
-7X2+2X+9=0

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 00:03

Oui,  Bien  x=(\sqrt{x})^2  donc on pose X=\sqrt{x}

l'équation s'écrit alors  

-7X^2+2X+9=0

Là vous avez une racine évidente -1 car -7\times 1+2\times (-1)+9=0

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 00:32

oui, mais il y a une deuxème \Delta =^{b2}-4ac
racine puisque \Delta >0 = 4-4(-7x9) =256
x2 =--2+\frac{-2-\sqrt{256}}{-14}=\frac{-18}{-14}=\frac{9}{7}


Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 00:39

Oui bien sûr  La réponse est correcte

Remarque :
Connaissez-vous le produit des racines ?   Le produit vaut \dfrac{c}{a}   ici  \dfrac{-9}{7}
comme l'une est -1 l'autre est \dfrac{9}{7}

maintenant retour en x

Posté par
Vale7401
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 09:15

Bonjour
@hekla : que se passe t'il pour X si x<0 dans le 2ème cas ?.
Merci

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 09:46

Bonjour

La première chose à faire avant d'effectuer le changement de variable est de préciser que l'équation n'a de sens que si x\geqslant 0

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 10:28

Bonjour
Donc si on écrit que l'équation n'a de sens que  si x\geq 0, quand x=-1, l'équation n'a pas de sens car x est un carré et un carré n'est jamais négatif

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 10:40

Bonjour

-1 est une solution de  -7X^2+2X+9=0

On sait  que  la racine carrée d'un nombre  est un réel positif   par conséquent on ne pourra
trouver un nombre réel  pour lequel sa racine carrée vaudrait -1

Remarque  pour l'instant on travaille uniquement dans \R mais vous verrez plus
tard qu'il existe un ensemble de nombres pour lesquels on peut trouver un x tel
que \sqrt{x}=-1

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 10:52

Je dois m'absenter.
Je reprendrai dans l'après-midi.
Bonne journée.

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 10:56

Sans problème
Bonne journée

Posté par
littleguy
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 18:10

Bonjour,

Juste un point de détail sur le symbole "racine carrée" que je n'utilisais que pour des réels positifs. Mais peut-être est-ce autorisé maintenant...

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 19:13

Je dois ne peut donner la valeur -1 à x puisque xest un carré.
Donc pour -1 l'équation -7x +2\sqrt{x}+9 =0 n'a pas de solution.

Pour x =\frac{9}{7}  l'équation -7x +2\sqrt{x}+9 =0 a deux solutions
-7*\frac{9}{7}+2\sqrt{\frac{9}{7}}+9=0
-7*\frac{9}{7}+2(-\sqrt{\frac{9}{7}})+9=0




Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 19:32

Vous devez résoudre maintenant

1) \sqrt{x} =-1  on a vu qu'il n'y avait pas de solution dans \R

2) \sqrt{x}=\dfrac{9}{7}

 \bigg (A\geqslant 0,\quad B\geqslant 0,\qquad \sqrt{A}=\sqrt{B}\bigg) \iff  (A=B)

d'où x=\dfrac{81}{49}

Je vous laisse conclure

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 19:44

A quoi correspondent A et B ?

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 19:45

À rien juste à énoncer des théorèmes

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 19:58

Il faut lire
si  A\geq 0 et si B\geq 0 et \sqrt{A}= \sqrt{B} alors A=B

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 20:00

Si vous voulez

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 20:06

je veux comprendre

x = (\frac{9}{7}^)2
x = \left-(\frac{9}{7} \right)2

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 20:09

Non il n'y a qu'une valeur

si\sqrt{A^2}=\pm A   en revanche on n'obtient qu'un seul nombre en élevant au carré

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 20:17

x=\frac{9}{7}
De toutes manières, il ne fallait pas que j'élève au carré, Je devais seulement  simplifier la fraction.

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 20:26

Il fallait bien élever au carré

votre équation est  \sqrt{x}=\dfrac{9}{7}

On veut trouver la valeur de x  pour laquelle l'équation est vérifiée.

On passe bien de \sqrt{x} à x  en prenant le carré de \sqrt{x}

Si on élève au carré d'un côté de l'égalité il faut bien le faire aussi de l'autre côté

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 20:51

  donc la solution est x =(\frac{9}{7})^{2}

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 20:54

Oui on peut aussi écrire \dfrac{81}{49}

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 21:11

oui, c'est pareil.
Donc, en conclusion,  l'équation a une seule solution : x = \frac{81}{49}

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 21:14

Oui une seule solution  \dfrac{81}{49}

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 21:51

Pour déterminer quel changement de variable on peut effectuer, au point b: il faut factoriser pour isoler la variable  ou découvrir le carré (point 2) pour obtenir une  équation du second degré pour arriver aux solutions.

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 22:12

Il faut chercher à se ramener à une équation du second degré

Reconnaître un terme  et voir si l'autre terme comportant l'inconnue peut être le carré du précédent

c'est ce que l'on pouvait voir dans la première équation  on avait un terme en 1/(x-2) et un terme en (1/(x-2))^2

  

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 22:34

Il fallait d'abord faire
\frac{15(1)}{(x-1)^{2}}+\frac{11(1)}{x_-2}-14=0
ensuite dire que \frac{1}{x-2} =X
puis remplacer \frac{1}{x-2 } par X dans l'équation  qui devient l'équation du a)  dont on avait déjà calculé les résultats.

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 22:38

Certes, mais on n'est pas toujours obligé de tout écrire

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 22:49

oui, quand on a de l'expérience.
Merci beaucoup.
Bonne nuit

Posté par
hekla
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 22:52

Il y a parfois des aides en proposant en question préalable de résoudre telle équation du second degré

De rien
Bonne nuit

Posté par
kikipopo
re : équation du second degré avec changement de variable 06-10-21 à 22:57

oui, c'était le cas pour cet exercice, mais c'est encore une question d'expérience.



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