x²+y²-2x = (x-1)²-1+y²=0 => (x-1)²+y²=1 centre I(1;0;0) passant en B(2;0;0) => W sera en (1,0,z)

WA = WB => WA²=WB² = 1²+0²+(z-4)² = 1²+0²+z² => (z-4)²-z²=0 = -8z+16 => z=2

=> R = V5 et (x-1)²+y²+(z-2)²=5
Vérifie (suis pas sûr)

Philoux

x²+y²-2x = 0 (dans le plan xoy)
(x-1)² + y² = 1
centre en (1 ; 0)

Le centre de la sphère sera obligatoirement (1 ; 0 ; A)

--> équation de la sphère: (x-1)²+ y²+ (z-A)²= R²

Passe par le point (0 ; 0 ; 0) -->
1² + 0² + A² = R²
R² = A² + 1

Eq de la sphère devient: (x-1)²+ y²+ (z-A)²= A² + 1

Passe par A(0 ; 0 ; 4) -->

1² + 0² + (4-A)² = A² + 1
(4-A)² = A²
4-A = +/- A
4-A = -A est impossible
4-A = A
2A = 4
A = 2

--> Eq de la sphère : (x-1)²+ y²+ (z-2)²= 5

C'est la sphère de centre (1 ; 0 ; 2) et de rayon V5.  (V pour racine carrée).
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Sauf distraction.  

bonjour philoux ,
pris de court ar ton message, je me permets quand même de poster le mien, si tu ne vois pas d'inconvéniants

tout d'abord, il faut rectifier l'énoncé :
La sphère coupe l'axe en deux points dont l'un est le point A(0,0,4).
sinon, ta sphère est tangente à cet axe, et c'est faux, ici
Pourquoi ?
parce que l'intersection de la sphère et du plan est un cercle passant par l'origine du repère

bon, maintenant que la rectification est faite, on peut continuer d'analyser le problème.
la sphère intersecte l'axe en deux points A et O
ainsi, le plan médiateur du segment [OA] contient le centre de ta sphère, qu'on note W _{(même notation que Philoux)}
définition du plan médiateur :
Ce plan médiateur est perpendiculaire à la droite (OA) _{(donc à l'axe )}, et intersecte l'axe au point milieu du segment [OA], c'est à dire au point noté A' de triple coordonnées (0;0;2)
ainsi, l'équation de ce plan est z=2
d'où

ensuite,
on note I le centre du cercle d'intersection de la sphère avec le plan (xOy)
Ses triple coordonnées sont (1;0;0)
parce que I appartient au plan (xOy), d'où
puis le cercle à pour équation dans le plan (xOy) :
c'est à dire (x-1)²+y²=1

La droite (WI) est perpendiculaire au plan (xOy) (parce que c'est une sphère), donc on a : et

conclusion : le centre de ta sphère est le point W (1;0;2)

reste à connaître le rayon et il est égal à

conclusion: la sphère à pour centre le point W (1;0;2) et pour rayon
son équation est donc (x-1)²+y²+(z-2)²=5


voilà une deuxième méthode expliquée

Salut muriel

le fait de dire que la sphère coupe l'axe en A ne présume pas que ce point soit unique, non ?

C'est sur, avec de la couleur et du latex, ça en jette

Philoux

non, dire que la sphère coupe l'axe en A ne présume pas que ce point soit unique.
Mais cela peut sous-entendre qu'il le soit, et disons qu'une formation m'a entrainée à faire attention à ce genre de choses, c'est pour cela que je l'ai dit

bonne soirée

ok

Philoux