Bonjour
Je suis bloqué sur un exo sur une équation du troisième degré. Est-ce
que quelqu'un pourrait m'aider????
Soit à résoudre l'équation du troisième degré:az^3+bz²+cz+d=0
1.Montrer qu'un chgmt d'inconnue z=Z+H permet, par un choix convenable
de h, de se ramener à une équation de la forme:Z^3+pZ+q=0 (2)
2.Montrer que pour tout Z appartenant à C, il existe des complexes u et v tels
que Z=u+v et 2uv+p=0
3.Donner alors une condition nécessaire et suffisante sur u et v pour que
Z soit solution de (2). Calculer u^3 et v^3, en déduire u et v
Pour la première question, il n'y a pas de problème, mais c'est
à partir de la 2ème question que ça coince...en fait je ne sais pas
du totu comment m'y prendre..
Merci d'avance
Bonjour
Je suis bloqué sur un exo sur une équation du troisième degré. Est-ce
que quelqu'un pourrait m'aider????
Soit à résoudre l'équation du troisième degré:az^3+bz²+cz+d=0
1.Montrer qu'un chgmt d'inconnue z=Z+H permet, par un choix convenable
de h, de se ramener à une équation de la forme:Z^3+pZ+q=0 (2)
2.Montrer que pour tout Z appartenant à C, il existe des complexes u et v tels
que Z=u+v et 2uv+p=0
3.Donner alors une condition nécessaire et suffisante sur u et v pour que
Z soit solution de (2). Calculer u^3 et v^3, en déduire u et v
Pour la première question, il n'y a pas de problème, mais c'est
à partir de la 2ème question que ça coince...en fait je ne sais pas
du totu comment m'y prendre..
Merci d'avance
*** message déplacé ***
ya une erreur dans ton énoncé !
c'est pas 3uv+p=0 au lieu de 2uv + p ?
Après tu as u^3+v^3=-q et uv=-p/3
soit u^3+v^3=-q et (u^3)*(v^3)=-p^3/27
Qu'on résout comme X+Y=-q ; X*Y = -p^3/27
c'est un exercice mathematique classique basé sur la logique:
pour montrer que u et v existe tu doit les calculer c'est adire
résoudre le systeme:
Z=u+v
2uv+p=0
ca donne v=Z-u
et 2u(Z-u)+p=0
2uZ-2u2+p=0
cette equation du second degré en u à deux solutions u1 et u2 (que tu calcule
avec un delta classique)
On en deduit qu'il existe deux complexes v possible:
v1=Z-u1
et v2=Z-u2
Ainsi pour Z donné il exite par exemple (u1,v1) et/ou (u2,v2) qui satisfont
les deux relations
PS: tu as demontré qu'il y a avait exactement deux couples qui marchent
alors qu'on demandait juste de demontrer qu'il y en avait
au moins 1
pour la 3) on remplace Z par u+v:
Z3+pZ+q=0
(u+v)3+p(u+v)+q=0
u3+v3+3u2v+3uv2 +pu+pv+q=0
ou on peut, on remplave uv par -p/2 car 2uv+p=0
On simlifie et on va vers la condition demandée
A+
*** message déplacé ***
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