Par la méthode de Cardan.

::::::::::::: Polynome DE DEGRE 3 :::::::::::::::

Ou en appliquant ce qui est écrit ici:

un polymôme dun troisième degré qui pose problème

Merci,

La démonstration est vraiment très complète.

Bonne soirée.

Grâce à la méthode de cardan, je trouve bien une racine. Mais par rapport à mon énoncé, il m'en faut trois.
Je me permets de vous le donner entier, ce sera peut être plus clair...
Soit f la fonction numérique telle que :

f (x) : X^3 - 3X - 1

1°) En étudiant les variations de la fonction f montrer que l'équation (E) : f(X)= 0 a trois racines réelles.

2°) Calculer Cos3ALPHA en fonction de cosALPHA. Posant alors X = 2cosALPHA, en déduire les trois racines de l'équation (E) sous forme trigonométrique.

Vous remerciant par avance de votre aide...

Bastien.

Bonjour bastienw;
Ta fonction est bien continue sur .
En plus elle vérifie: le théorème des valeurs intermédiaires confirme qu'elle s'annule sur chacun des intervalles , et et comme c'est un polynome du troisiéme degré elle a donc exactement racines réelles.

Sauf erreurs bien entendu

Dans un premier temps, MERCI !

mais il me reste quelques questions, je ne connais le théorème de valeurs intermédiaires et par ailleurs, les trois racines en question, quelle méthode faut-il appliquer pour les trouver ?
Avec Cardan on trouve u, v et u+v, est-ce la bonne réponse ?

2°)

Poser x = 2.cos(a)

x³ = 8.cos³(a)

X^3 - 3X - 1 = 0 devient:
8.cos³(a) - 6.cos(a) - 1 = 0  (2)

Or cos(3a) = 4cos³(a) - 3.cos(a)

--> 2cos(3a) = 8cos³(a) - 6.cos(a)

et (2) devient: 2.cos(3a) = 1

cos(3a) = 1/2

--> 3a = +/- Pi/3 + 2kPi

a = +/- Pi/9 + 2k.Pi/3

cos(a) = cos(+/- Pi/9 + 2k.Pi/3)

--> 3 valeurs possibles pour cos(a)
cos(a) = cos(Pi/9)
cos(a) = cos(Pi/9 + 2Pi/3) = cos(7Pi/9)
cos(a) = cos(Pi/9 + 4Pi/3) = cos(13Pi/9)

Et avec x = 2.cos(a), les 3 solution de l'équation sont
x1 = 2.cos(Pi/9)
x2 = 2.cos(7Pi/9)
x3 = 2.cos(13Pi/9)
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Sauf distraction.  

Dites moi, pour les racines de mon équation, je trouve donc
u, v, et u+v avec respectivement,

u     = -(730/857)
v     = 27/23
u + v = 338/297

je pense sérieusement avoir fait une erreur...

Vous remerciant par avance...

Bastien.

bastienw,

Dans ton message du 03/10/2005 à 16:01, il est demandé de trouver les racines sous forme trigonométriques et une indication est fournie pour y arriver.

J'ai résolu le problème de cette manière dans ma réponse du  03/10/2005 à 16:25

Les 2 solutions sont:

x1 = 2.cos(Pi/9)
x2 = 2.cos(7Pi/9)
x3 = 2.cos(13Pi/9)

Que ne comprends-tu pas dans cette réponse qui a suivi la marche à suivre demandée dans l'énoncé ?
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Et bien dans la première question on me demande de trouver les trois racines. ensuite seulement on me demande les racines sous forme trigonométrique..

Dois-je laisser, pour lapremière question le résultat sous la forme générale (sans valeur précise) ?

Vous remerciant pour tout...

Dans la première question, on ne te demande pas de trouver les 3 racines mais de montrer qu'il en existe 3, c'est fondamentalement différent.
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On fait ainsi:

f(x) = x³ - 3x - 1
f '(x) = 3x² - 3
f '(x) = 3(x²-1) = 3(x-1)(x+1)

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1[ -->
f '(x) = 0 pour x = -1
f '(x) < 0 pour x dans ]-1 ; 1[ --> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 1
f '(x) > 0 pour x dans ]1 ; oo[ --> f(x) est croissante.

Il y a un maximum de f(x) pour x = -1, ce max vaut f(-1) = 1 > 0
Il y a un minimum de f(x) pour x = 1, ce min vaut f(-1) = -3 > 0

lim(x-> -oo) f(x) = -oo
lim(x-> oo) f(x) = oo

On a donc:
f(x) est continue sur R.
lim(x-> -oo) f(x) = -oo < 0
f(x) est croissante sur ]-oo ; -1[
f(-1) > 0

De ces 4 lignes ont conclut qu'il y a une et une seule solution à f(x) = 0 dans l'intervalle ]-oo ; -1[
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On a aussi:
f(x) est continue sur R.
f(x) est décroissante sur ]-1 ; 1[
f(-1) > 0
f(1) < 0

De ces 4 lignes ont conclut qu'il y a une et une seule solution à f(x) = 0 dans l'intervalle ]-1 ; 1[
---
On a aussi.
f(x) est continue sur R.
f(x) est croissante sur ]1 ; oo[
f(1) < 0.
lim(x-> oo) f(x) = oo

De ces 4 lignes ont conclut qu'il y a une et une seule solution à f(x) = 0 dans l'intervalle ]1 ; oo[
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De tout ce qui précède, on conclut qu'il y a 3 solutions réelles à f(x) = 0.

Et ceci clos la question 1.
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Sauf distraction.

Merci beaucoup,

Effectivement tout est plus simple maintenant,
Encore merci pour vos explication...