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Equation exp(a*x+b) = c*x+d
Bonjour tout le monde,
Dans toute la suite exp représente la fonction exponentielle.
On m'a posé la question de résoudre l'équation suivante :
exp(3x+1) = 7x+1
Du coup je me penche sur le cas général dans R (ou même C) des équations ayant la forme :
exp(a*x+b) = c*x+d , à coeficient réels. (E)
Existe-t-il une méthode pour retrouver les solutions de ce type d'équations ?
Une piste que je poursuit est de formuler E , en introduisant une fonction u : u(x)=ax+b
Donc d'écrire :
u' * exp(u) = K*u + L , où K et L sont des contantes réelles et u est fonction de x. et u' =du/dx (dérivée)
en intégrant ensuite, je calle ... Quelqu'un peut-il m'aider dans ma démarche ou en proposant une autre démarche pour la résolution de ce genre d'équations.
Merci
Dans ce genre de relation, il est impossible de trouver x par calculs analytiques.
On peut chercher s'il y a des solutions. Si oui, les situer dans des intervalles par une étude d'une fonction appropriée.
On peut ensuite approcher ces solutions par approximations successives.
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Dans le cas donné, il n'y a pas de solutions réelles.
On étudie la fonction:
f(x) = e^(3x+1) - 7x - 1
f '(x) = 3.e^(3x+1) - 7
f '(x) = 0 pour e^(3x+1) = 7/3
3x+1 = ln(7/3)
x = (1/3).(ln(7/3) - 1)
f '(x) < 0 pour x < (1/3).(ln(7/3) - 1) --> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = (1/3).(ln(7/3) - 1).
f '(x) > 0 pour x > (1/3).(ln(7/3) - 1) --> f(x) est croissante.
Il y a un min de f(x) pour x = (1/3).(ln(7/3) - 1) , ce min vaut f((1/3).(ln(7/3) - 1) ) = 1,689... > 0
Et dès lors d'après les variations de g(x), il n'y a aucune valeur réelle de x pour laquelle f(x) = 0
--> L'équation e^(3x+1) = 7x + 1 n'a pas de solution réelle.
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Sauf distraction. 
sauf erreur, toujours, selon les valeurs de a, b, c et d tu peux avoir 0, 1 ou 2 racines réelles ( analyse d'un graphe paramétré )
Bonjour,
généralement, les solutions de cette équation ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles en nombre fini.
Pour avoir une expression formelle, il faut faire appel à la fonction spéciale W(X) nommée "fonction oméga de Lambert" (autrefois symbolisée par la lettre oméga). La formule est jointe.
Cette fonction est multiforme et peut avoir 0, 1 ou 2 déterminations selon la valeur de la variable X.
Il existe des séries infinies qui permettent son calcul numérique.
Mais en pratique, lorsqu'on doit calculer les racines de cette équation, il est plus simple de procéder directement par l'une des nombreuses méthodes existantes de calcul numérique de solutions d'équations que de passer par l'intermédiaire de cette fonction spéciale.
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