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Equation fonctionnelle

Posté par jacko78 (invité) 01-02-05 à 17:59

On veut determiner ttes les fonctions f definies sur R et a valeur reelles et derivables en 0 verifiant:
pour tout x réel, f(2x)=(2*f(x))/(1+(f(x))^2)

1)Quelles sont les valeurs possible de f(0) si f est solution ?
Je pense que f(0)=-1 ou f(0)=1 ou f(0)=0

3) Montrer que si f est solution on a pour tout x reel:
-1 <ou= f(x) <ou) 1

4)Montrer que si f est solution alors -f est aussi solution.

Voila le probleme est encore long mais je ferais le reste seul merci de votre aide...++

Posté par
isisstruissre : Equation fonctionnelle 01-02-05 à 18:20

1) Je suis d'accord avec tes résultats

3) Essaye d'exprimer f(x) en fonction de f(2x), c'est-à-dire f(x)=...f(2x)... et tu trouveras de quoi justifier les inégalités

4) Celle-là est plutôt facile, c'est juste une vérification. Posons Par exemple g(x)=-f(x). Alors
\frac{2g(x)}{1+g^2(x)}=\frac{-2f(x)}{1+f^2(x)}=-\frac{2f(x)}{1+f^2(x)}=-f(2x)=g(2x)

Isis

Posté par jacko78 (invité)re : Equation fonctionnelle 01-02-05 à 21:20

Je ne comprend pas pour la 3 j'ai bien exprimé f(x) en fonction de f(2x) mais je n'arrive pas a traduire l'inegalité, qui doit pourtant etre tres simple... Dois je travailler par condition nécéssaire et suffisante ?

Posté par
isisstruissre : Equation fonctionnelle 01-02-05 à 23:20

f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f^2(x)}
\Rightarrow\quad(1+f^2(x))f(2x)=2f(x)
\Rightarrow\quad f(2x)f^2(x)-2f(x)+f(2x)=0

On peut voir ceci comme un polynôme de degré 2 en f(x).
\Rightarrow\quad f(x)=\frac{2\pm\sqrt{4-4f^2(2x)}}{2f(2x)}=\frac{1\pm\sqrt{1-f^2(2x)}}{f(2x)}

Il existe une solution dans \mathbb{R} si le terme sous la racine est non négatif.
\Rightarrow\quad 1-f^2(2x)\geq0
\Rightarrow\quad 1\geq f^2(2x)
\Rightarrow\quad -1\leq f(2x)\leq1
\Rightarrow\quad -1\leq f(x)\leq1

J'espère que t'es convaincu.

Isis

Posté par jacko78 (invité)re : Equation fonctionnelle 02-02-05 à 15:17

oui completement merci beaucoup


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