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Equation fonctionnelle

Posté par
elmoua
12-07-15 à 00:51

Bonjour,
Je vous demande de l'aide à propos de l'équation fonctionnelle suivante:
f*
f(-x)+x3f(1/x)=2x4
J'ai pas trop avancé .. tout ce que j'ai pu en tirer c'est que la fonction s'annule en -1 et je sais pas quoi faire après.
Merci d'avance.

Posté par
jarod128
re : Equation fonctionnelle 12-07-15 à 02:21

Bonjour,
je te propose f(x)=x^4 + 1/x pour x<>0
démo
Soit x<>0

J'applique ton égalité en (-1/x)
f(1/x)-(1/x^3)f(-x)=2/x^4

je multiplie par x^3
x^3f(1/x)-f(-x)=2/x

je remplace le premier terme précédent via l'égalité de départ
2x^4-f(-x)-f(-x)=2/x

je regroupe et simplifie par 2 puis isole f(-x)
f(-x)=x^4-1/x

il reste à appliquer cette égalité à (-x) et on obtient ma proposition.
On peut vérifier par la suite que ma proposition vérifie la condition demandée.

Posté par
elmoua
re : Equation fonctionnelle 12-07-15 à 02:46

Merci beaucoup pour ta réponse.

Posté par
alainpaul
re : Equation fonctionnelle 14-07-15 à 11:41

Bonjour,

Jarod128 te propose la solution et la vérifie; mais comment
la trouve-t' il?



Alain

Posté par
alb12
re : Equation fonctionnelle 14-07-15 à 12:08

@alainpaul
je ne comprends pas ta remarque.
jarod128 a procede en 2 temps:
si f verifie l'equation fonctionnelle alors f(x)=x^4+1/x
si f(x)=x^4+1/x alors f verifie l'equation fonctionnelle

Posté par
alainpaul
re : Equation fonctionnelle 14-07-15 à 14:11

Bon après-midi,

La présentation immédiate de la solution m'a induit en erreur.

J'avais procédé comme suit,cherchons f(x):
-x   remplace x                f(x)-x^3f(-\frac{1}{x})=2x^4  (1)
-1/x remplace x dans (1)  f(-\frac{1}{x})+\frac{1}{x^3}f(x)=\frac{2}{x^4}

Reste à éliminer f(-\frac{1}{x}) :
2 équations ,2 inconnues,soit f(x)=x^4+\frac{1}{x}



Amicalement,
Alain



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