Bonsoir
"si l'on connaît une telle fonction g" laquelle ? Il n'est jamais fait mention d'une fonction g dans l'énoncé.

Tu as du as déjà entendu  ressacer  " la solution générale de l'équation est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée " ? non ?

C'est le cas ici : si on connaît  une g  vérifiant les  autres sont les g + f où  f vérifie    

    ressasser pas re-sucer  

(j'ai rien dit! )

salut

on s'en fout ...

on veut montrer que : si g existe alors ...


max888  :  et il serait temps de penser correctement en apprenant à lire

si une fonction g vérifie la relation f(x + 1) - f(x) = u(x) que peut-on écrire ?

Bonjour ,
si on trouve la résolution de l'equa fonctionelle f(x+1) - f(x) = 0
alors il suffit de prendre h = f + g qui nous donnera
h(x+1 ) - h(x) = f(x+1) + g(x+1) - f(x) - g(x) = g(x+1) - g(x) = u(x)
ce qui veut dire que h est donc une forme des solutions de la première équation fonctionelle .
Conclusion : en trouvant la résolution de  f(x+1) - f(x) = 0  , on pose h = f + g et on trouve la résolution de f(x+1) - f(x) = u(x)

hiimgosu
  Je te conseille de  désigner ,  pour toute u : ⁺   , par   E(u) l'ensemble des f qui vérifient     et de montrer que pour toute g de E(u) tu as : E(u) = g + E(0)
( E(0) étant donc  l'ensemble des f qui vérifient )  

oui c'est exact , mais si on fixe une fonction u : R+ ---> R sans donner aucune condition sur u, n'est ce pas la même chose ?  

mais on ne fixe pas u !!! c'est une donnée de l'énoncé !!!

Alors finalement, il suffit de dire que g est solution particulière et que pour que f+g  soit solution de l'équation, il faut trouver  f  telle que , c'est bien cela ?

Oui Carpediem, u est fixé par l'énoncé , mais la question traite la résolution de f(x+1) - f(x) = u(x) , puisqu'il n'y a aucune condition sur u , alors on peut de cette façon résoudre le problème quelque soit u: R+ —> R ... c'est ce que je voulais dire , peut être que j'ai toujours tort ...

Bonjour à tous.

@hiimgosu : je vois ce que tu veux dire. Aussi, peut-on voir le problème de cette façon :
Je pose :





Le problème est donc de résoudre en , dans l'ensemble , l'équation .

On fixe donc .

On pose

est une application partielle et on cherche à déterminer

n'est pas tout à fait linéaire mais on peut noter ceci :







D'où  

Conséquence : si est une solution de , toutes les autres s'obtiennent en lui ajoutant les solutions de  l'équation

En effet, soit telle que ,alors :



donc la fonction convient, vérifie bien   et on a

Le réciproque est évidente.

Donc pour reprendre les  notations etniopal 06-12-17 à 19:40, l'ensemble est un sous-espace affine de direction

@hiimgosu : maintenant, on peut faire cette démarche pour tout . Mais à l'intérieur de cette démarche, est fixe.

Et ressemble à s'y méprendre à l'ensemble des fonctions 1-périodiques.

Exemple en gardant les mêmes notations : déterminer .
On cherche les fonctions telles
On va donc chercher une solution particulière de l'équation sous la forme .
En développant et identifiant, on trouve a = 1/2 et b = -1/2 e c = 0

Donc

Par exemple où {x} est la partie fractionnaire de x

trop compliqué ...

Bonjour,

A part Y(x)= c constante
y aurait-il de la période 1 dans le coup?


Alain

Bonsoir,

jsvdb  l'avait avant moi remarqué(période = 1).

Si g désigne la partie non périodique de f  et est dérivable alors :



E(Id) correspond si f dérivable et ;

Alain

si f(x + 1) - f(x) = u(x) f n'est surement pas périodique ... sauf cas particulier


si f(x + 1) - f(x) = 0 alors f est 1-périodique ...