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Equation fonctionnelle

Posté par
max888
06-12-17 à 18:32

Bonjour,
Je bloque sur une question dans un exercice sur la continuité et les équations fonctionnelles.
L'énoncé est le suivant :

Citation :
u : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}.
On cherche toutes les fonctions f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}
tel que  \forall x \in \mathbb{R}^+, f(x+1)-f(x)=u(x).
Montrer que si l'on connaît une telle fonction g, alors la résolution de cette équation fonctionnelle est ramenée à celle de :  \forall x \in \mathbb{R}^+, f(x+1)-f(x)=0.


J'ai pensé qu'il fallait montrer que la fonction u était la fonction nulle, et qu'en supposant qu'il existait une valeur non nulle de u, on pourrait trouver une contradiction par rapport à l'équation dont g est solution, mais je ne vois pas comment aboutir, et je ne comprends pas pourquoi u devrait forcément être nulle ?

Merci d'avance !

Posté par
Jezebeth
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 18:57

Bonsoir
"si l'on connaît une telle fonction g" laquelle ? Il n'est jamais fait mention d'une fonction g dans l'énoncé.

Posté par
etniopal
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 18:58

Tu as du as déjà entendu  ressacer  " la solution générale de l'équation est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée " ? non ?

C'est le cas ici : si on connaît  une g  vérifiant  \forall x \in \mathbb{R}^+, f(x+1)-f(x)=u(x). les  autres sont les g + f où  f vérifie     \forall x \in \mathbb{R}^+, f(x+1)-f(x)= 0

Posté par
etniopal
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 19:00

    ressasser pas re-sucer  

Posté par
Jezebeth
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 19:01

(j'ai rien dit! )

Posté par
carpediem
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 19:02

salut

on s'en fout ...

on veut montrer que : si g existe alors ...


max888  :  et il serait temps de penser correctement en apprenant à lire

si une fonction g vérifie la relation f(x + 1) - f(x) = u(x) que peut-on écrire ?

Posté par
hiimgosu
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 19:05

Bonjour ,
si on trouve la résolution de l'equa fonctionelle f(x+1) - f(x) = 0
alors il suffit de prendre h = f + g qui nous donnera
h(x+1 ) - h(x) = f(x+1) + g(x+1) - f(x) - g(x) = g(x+1) - g(x) = u(x)
ce qui veut dire que h est donc une forme des solutions de la première équation fonctionelle .
Conclusion : en trouvant la résolution de  f(x+1) - f(x) = 0  , on pose h = f + g et on trouve la résolution de f(x+1) - f(x) = u(x)

Posté par
etniopal
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 19:40

hiimgosu
  Je te conseille de  désigner ,  pour toute u : +   , par   E(u) l'ensemble des f qui vérifient    \forall x \in \mathbb{R}^+, f(x+1)-f(x)=u(x)     et de montrer que pour toute g de E(u) tu as : E(u) = g + E(0)
( E(0) étant donc  l'ensemble des f qui vérifient   \forall x \in \mathbb{R}^+, f(x+1)-f(x)=0 )  

Posté par
hiimgosu
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 19:55

oui c'est exact , mais si on fixe une fonction u : R+ ---> R sans donner aucune condition sur u, n'est ce pas la même chose ?  

Posté par
carpediem
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 20:35

mais on ne fixe pas u !!! c'est une donnée de l'énoncé !!!

Posté par
max888
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 21:19

Alors finalement, il suffit de dire que g est solution particulière et que pour que f+g  soit solution de l'équation, il faut trouver  f  telle que f(x+1)-f(x)=0, c'est bien cela ?

Posté par
hiimgosu
re : Equation fonctionnelle 06-12-17 à 21:31

Oui Carpediem, u est fixé par l'énoncé , mais la question traite la résolution de f(x+1) - f(x) = u(x) , puisqu'il n'y a aucune condition sur u , alors on peut de cette façon résoudre le problème quelque soit u: R+ —> R ... c'est ce que je voulais dire , peut être que j'ai toujours tort ...

Posté par
jsvdb
re : Equation fonctionnelle 07-12-17 à 10:51

Bonjour à tous.

@hiimgosu : je vois ce que tu veux dire. Aussi, peut-on voir le problème de cette façon :
Je pose :

\mathcal F = \{f : \R_+ \rightarrow \R\}

\mathbf S : \mathcal F \times \mathcal F \rightarrow \mathcal F; ~\mathbf S(f,u)(x) =f(x+1) - f(x) - u(x)

Le problème est donc de résoudre en f, dans l'ensemble \mathcal F, l'équation \mathbf S(f,u) = 0.

On fixe donc u \in \mathcal F.

On pose \mathbf S_u : \mathcal F \rightarrow \mathcal F;~ \mathbf S_u(f) = \mathbf S(f,u)

\mathbf S_u est une application partielle et on cherche à déterminer \mathbf S_u^{-1}(\{0\})

\mathbf S_u n'est pas tout à fait linéaire mais on peut noter ceci :

\forall \lambda \in \R^* : \mathbf S_u(\lambda f) = \lambda.\mathbf S_{u/\lambda}(f)

\mathbf S_u(0) = -u

\begin {aligned}\mathbf S_u(f+g)(x) & = (f+g)(x+1) - (f+g)(x) -u(x) \\ & = f(x+1) - f(x) - u(x) + g(x+1) - g(x) \\ & = \mathbf S_u(f)(x) + \mathbf S_0(g)(x)\end {aligned}

D'où  \blue \boxed {\mathbf S_u(f+g) = \mathbf S_u(f) + \mathbf S_0(g)}

Conséquence : si f est une solution de \mathbf S_u(f) = 0, toutes les autres s'obtiennent en lui ajoutant les solutions de  l'équation \mathbf S_0(g) = 0

En effet, soit v telle que \mathbf S_u(v) = 0,alors :

0 = \mathbf S_u(v) = \mathbf S_u(f+ v - f)=\underbrace{\mathbf S_u(f)}_{=0} + \mathbf S_0(v - f)

donc la fonction g = v - f convient, vérifie bien \mathbf S_0(g)=0  et on a \blue \mathbf S_u(f+g) = 0

Le réciproque est évidente.

Donc pour reprendre les  notations etniopal 06-12-17 à 19:40, l'ensemble E(u) = \mathbf S_u^{-1}(\{0\}) \subset \mathcal F est un sous-espace affine de direction E(0)

@hiimgosu : maintenant, on peut faire cette démarche pour tout u \in \mathcal F. Mais à l'intérieur de cette démarche, u est fixe.

Posté par
jsvdb
re : Equation fonctionnelle 07-12-17 à 11:00

Et E(0) ressemble à s'y méprendre à l'ensemble des fonctions 1-périodiques.

Posté par
jsvdb
re : Equation fonctionnelle 07-12-17 à 11:15

Exemple en gardant les mêmes notations : déterminer E(Id).
On cherche les fonctions telles f(x+1) - f(x) = x
On va donc chercher une solution particulière de l'équation sous la forme f(x) = ax^2 + bx + c.
En développant et identifiant, on trouve a = 1/2 et b = -1/2 e c = 0

Donc E(Id) = \{x \mapsto \frac{1}{2} x(x-1) + \pi(x) / \pi \in E(0) \}

Par exemple t : x \mapsto \frac{1}{2} x(x-1) + \sin(2\pi x) + 3\cos(2\pi x)-\{x\} \in E(Id) où {x} est la partie fractionnaire de x

Posté par
carpediem
re : Equation fonctionnelle 07-12-17 à 12:57

trop compliqué ...

Citation :
si une fonction g vérifie la relation f(x + 1) - f(x) = u(x) que peut-on écrire ?

et pour se simplifier on va noter y la fonction inconnue ou variable

si une fonction g vérifie la relation y(x + 1) - y(x) = u(x) que peut-on écrire ?


ben on peut écrire que : g(x + 1) - g(x) = u(x)


par différence on en déduit que [y - g](x + 1) - [y - g](x) = 0

on est donc ramené à résoudre l'équation Y(x + 1) - Y(x) = 0

épictou ...

Posté par
alainpaul
re : Equation fonctionnelle 07-12-17 à 14:09

Bonjour,

A part Y(x)= c constante
y aurait-il de la période 1 dans le coup?


Alain

Posté par
alainpaul
re : Equation fonctionnelle 07-12-17 à 18:43

Bonsoir,

jsvdb  l'avait avant moi remarqué(période = 1).

Si g désigne la partie non périodique de f  et est dérivable alors :

\int_x^{x+1} g'(v)dv=U(x)

E(Id) correspond si f dérivable et ; \int_x^{x+1}f'(v)dv=x

Alain

Posté par
carpediem
re : Equation fonctionnelle 07-12-17 à 18:48

si f(x + 1) - f(x) = u(x) f n'est surement pas périodique ... sauf cas particulier


si f(x + 1) - f(x) = 0 alors f est 1-périodique ...

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