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équation fonctionnelle
Soit f une fonction définie sur D telle que pour tous nombres a et
b de D,
f (ab) = f(a)+f(b) (E)
-on suppose que f est définie en 1. On trouve f(1) =0
On montre que f(0) = 0 et que si f est définie en 0, alors f est forcément
la fonction nulle. On va désormais supposer que f est non nulle,
définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; +infini[.
Soit a>0 fixé. Considérons la fonction g définie sur ]0;+infini[par
g(x)=f(ax).
1. Calculer g'(x). En utilisant (E), écrire g(x) sous une autre
forme et en déduire une autre expresion de g'(x)
2. a. En déduire deux expressions différentes pour g'(1) et une
relation entre f'(a) et f'(1).
b. Montrer qu'il existe Z appartient à R* tel que pour tout x
appartient ]0 ; + infini[, f'(x) = Z/x
3. Déterminer f.
Bonjour quand même Stifi,
1) g'(x)=(f(ax))'=af'(ax).
En utilisant E, on peut écrire g(x)=f(a)+f(x).
D'où g'(x)=f'(x) (car f(a) est une constante)
2a) On en déduit g'(1)=af'(a)=f'(1).
On en déduit que f'(a)=f'(1)/a.
2b) Pour tout a appartenant à ]0;+inf[, on a démontré que f'(a)=f'(1)/a
. En posant f'(1)=Z, on répond à la question.
3) Il faut chercher les primitives de Z/x. Elles sont de la forme :
Zln(x)+constante.
En écrivant f(1)=0, on obtient que la constante est égale à 0.
@+
Bonjour à toi aussi et merci d'avoir répondu aussi vite !
En fait j'avais tout trouvé sauf la 2b qui me posait problème.
Encore une fois mille mercis !!! 
J'ai aussi un doute sur une question de proba mais là c'est un exo
vachement long. Tu peux me donner un coup de main ou pas?
Stifi
Bonjour à toi aussi et merci d'avoir répondu aussi vite !
En fait j'avais tout trouvé sauf la 2b, qui me posait problème.
Encore une fois mille mercis !!! J'ai aussi un doute sur
une question de proba, maislà c'est un exo vachement long. Tu
peux me donner un coup de main ou pas ?
Steph
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