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Niveau Maths sup
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Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x)

Posté par
calloul
01-04-21 à 13:48

Bonjour a tous,

Pardonnez moi l'absence d'accents. Pour la question suivante, j'aimerais avoir un avis exterieur pour trancher sur

Enonce: determiner f : R --> R telle que f(2x+f(y))=x+y+f(x) pour tout x et y appartenant a R.

Voici ma solution:

Soit f une fonction qui satisfait cette relation.

On considere y appartenant a R. Avec x=-f(y), on a par la relation satisfaite par f ceci:

f(-2f(y)+f(y)) = -f(y) + y + f(-f(y))
=> f(-f(y)) = -f(y) + y + f(-f(y)) => f(y) = y

On a ainsi pour tout y appartenant a R prouve que f(y) = y, donc f est l'identite.

Reciproquement, on verifie que f satisfait la proposition.

L'identite est donc la seule solution possible.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cette solution ne fait pas l'unanimite parmi mes camarades

En effet, le fait de poser x=-f(y) ferait selon eux que l'on ne considere pas tous les x possibles. Cependant, je pense qu'etant donne que la fonction f est definie sur R et non sur R^2, la question ne se pose pas vraiment, tant que je montre effectivement que pour tout y appartenant a l'ensemble de definition, f(y) = y

Qu'en pensez-vous?

Merci beaucoup pour votre aide et n'hesitez pas a etre tres explicite afin que l'on mette un terme a ce debat.

Posté par
lionel52
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 14:34

Peut être que si tu dis : bon je remplace les x de l'énoncé par les y et les y par les x (changement de variable muet) ils seront plus à l'aise avec ta solution !

En tout cas ça me choque pas !

Posté par
carpediem
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 14:36

salut

f est définie sur R donc si y est un réel on peut considérer son image f(y) puis considérer le nombre x = -f(y)

mais effectivement ensuite tu ne considères pas tous les couples (x, y) quelconques mais seulement les couples (-f(y), y)

de la même façon pour tous les couples (x, x) tu as directement f(2x  +f(x)) = 2x + f(x)

f est donc l'identité sur les sous-ensembles de R^2 : {(x, x)} et {(-f(x), x)}  (ton cas)

mais cela n'est pas tout R^2 ...

Posté par
carpediem
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 14:48

ma relation est en fait plus intéressante :

f(2x + f(x)) = 2x + f(x) montre que f est l'identité sur l'ensemble E = {2x + f(x) / x }

il suffit alors de montrer que cet ensemble est R ...

Posté par
calloul
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 15:31

Justement la fonction f est definie de R dans R et non de R2 dans R, du coup ma solution me semble bonne. @carpediem penses-tu qu'elle est fausse? Je ne sais pas quoi penser maintenant, pour moi si la question posait f: R^2 --> R alors ma demo serait fausse mais la ce n'est pas le cas.

Posté par
lafol Moderateur
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 15:55

Bonjour
ta solution me parait bonne : si la relation donnée est vraie pour tous les couples (x,y), elle l'est à fortiori pour les couples (-f(y),y)
tu as prouvé que l'identité était la seule solution possible. une fois que tu as vérifié que l'identité vérifie bien la relation pour TOUS les couples (x,y) de IR², c'est terminé.

Posté par
carpediem
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 16:43

certes mais qui dit que c'est la seule ?

l'identité est solution pour tout couple (x, y)

il peut très bien y avoir une autre fonction f qui ne soit pas l'identité mais dont la restriction aux couples (-f(y), y) soit l'identité ... non ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 17:03

Bonjour,
Que veut dire

Citation :
une autre fonction f .... dont la restriction aux couples (-f(y), y) soit l'identité
alors que f est définie sur ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 17:18

A moi aussi, la solution de calloul me semble bonne.
Bien préciser le départ :
Pour tout y réel on pose x = -f(y).
Et conclure par Pour tout y réel on a f(y) = y.

On peut aussi commencer par échanger x et y dans la relation, comme proposé par lionel52.

Posté par
DOMOREA
Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 17:21

bonjour,
Une idée peut-être baroque!
On peut considérer la fonction g de R² dans R ,g((x,y))=f(2x+f(y)) qui est égale à h de R² dans R , h((x,y))=x+y+f(x).

Supposons que f ne soit pas constante et que f soit dérivable alors il existe y_0 tel que f'(y_0) soit non nul.

Alors en utilisant h'_y(x,y)  et g'_y(x,y), on montre que f'_y(2x+f(y_0))=1/f'(y_0)) donc constant pour y_0 fixé, or \{2x+f(y)/x\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}

ainsi f(x,y_0) est linéaire par rapport à x sur \mathbb{R}.
or j'ai remarqué que toute fonction linéaire de R² dans R satisfait à la relation du texte.

Je me demande alors si la nappe définie par g ou par h ne serait pas au mieux un plan ou au moins celle d'une fonction réglée qui couperait le plan (x,y) selon la droite Y=X, ce qui  justifierait la réponse calloul

Posté par
carpediem
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 17:30

ha mais oui en fait !!! (merci à Sylvieg) en fait on se **** de R^2 à postériori ...

quand y parcourt R ... y parcourt R quoi que fasse (-f(y), y) dans R^2 !!

* Modération > mot de vocabulaire peu châtié supprimé *

Posté par
matheuxmatou
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 01-04-21 à 18:04

bonjour

ben oui, sa solution est bonne ! et astucieuse en plus ! et rapide !

il montre tout simplement que si f convient, alors, on a nécessairement f(y)=y pour tout y de R

puis que celle-ci convient.

que demander de plus ?

Posté par
DOMOREA
Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 02-04-21 à 10:16

bonjour,
d'abord mon post précédent est à effacer,
Je reviens sur les autres réponses(carpediem, lafol,Sylvieg, matheuxmatou)

Il me semble qu'en posant x=-f(y) on a effectivement f(y)=y, mais alors x+y=0 ce qui revient à tester uniquement sur les couples (x,-x)
la relation (*) : f(2x+f(y))=x+y+f(x) n'est pas symétrique en x et y
((*) et x=-f(y)) équivalent à ((*) et  f(y)=y) équivalent à ((*) et y=-x)

Donc poser x=-f(y) c'et poser y=-x pourquoi pas! mais alors il faut en déduire les conséquences et ne pas aller au delà
((*) et y=-x) implique  f(2x+f(-x))=f(x) relation(**)
En disant que f(-x)=-x  on arrive avec (**)  à la tautologie f(x)=f(x)
En affirmant que f est l'identité on a avec (**) 2x+f(-x)=x et donc la tautologie  2x-x=x

En conclusion on avance guère  il me semble sur la connaissance de f sauf que l'identité satisfait (*)

une curiosité en plus en partant de y=-x avec la relation(*) on parvient à f(2x+f(-x))=f(x) et on peut vérifier que la fonction f(u)=-u satisfait cette relation.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 02-04-21 à 12:46

Décidément, la solution de calloul ne fait pas non plus l'unanimité sur l'île

Ceux qui la défendent, dont je fais partie, n'ont sans doute pas été assez convaincants.
J'essaye de l'être un peu plus :
Les lettres x et y perturbent ; je commence donc avec une valeur précise, f(2021).
Avec z = f(2021), on peut remplacer x par -z et y par 2021 dans l'égalité
f(2x+f(y))=x+y+f(x).
On obtient f(-2z+z) =-z+2021+f(-z).
Ce qui donne f(-z) = -z+2021+f(-z). D'où z = 2021.
Or z = f(2021) ; donc f(2021) = 2021.

Après, on peut faire la même chose avec z = f(a) où a est un réel quelconque.

Posté par
matheuxmatou
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 02-04-21 à 18:29

et je suis désolé, mais la relation de départ ne me semble pas vérifiée pour la fonction f=-Id

-2x + y ne vaut pas y pour tout couple (x;y) ...

bref !

j'ai quand même du mal à comprendre ce que vous reprochez à se démonstration !

Sylvieg a bien détaillé la chose !

Posté par
WilliamM007
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 02-04-21 à 23:29

Bonsoir,

Je dois avouer que lorsque j'ai lu la démonstration de calloul la première fois, ça me paraissait évident que c'était bon (et plutôt joli, difficile de faire plus rapide je pense). Mais ayant une grande estime pour l'opinion de carpediem, j'ai sérieusement remis en doute mon jugement. Mais non, je ne vois pas ce qui pose problème. Si on prend un peu de recul, on a comme introduction "soit y\in\R", et comme conclusion "alors f(y)=y". Et les étapes entre les deux sont bonnes. Donc c'est clair : f est l'identité.

Posté par
larrech
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 03-04-21 à 08:44

Bonjour,

C'est drôle, mais j'ai eu la réaction contraire. Première lecture, je me suis dit, "joli, mais ne traite-t-il pas un cas particulier ?". Et puis, à la relecture , non, c'est bon.
Cela aurait été plus clair en disant "la relation étant vraie pour tout x, soit x=-f(y), etc.".
Intéressant ce problème.

Posté par
carpediem
re : Equation fonctionnelle: f(2x+f(y))=x+y+f(x) 03-04-21 à 08:53

merci WilliamM007

comme je l'ai dit à 17h30 je me suis mélangé les pinceaux entre R et R^2

autant (-f(x), x) ne parcourt par R^2 quand x parcourt R
autant x tout seul parcourt R quand ... x parcourt R !!

et f est définie sur R

et je précise aussi d'ailleurs que ma proposition avec x = y et f(2x + f(x)) = 2x + f(x) n'est même pas suffisante pour conclure puisqu'on ne sait pas si 2x + f(x) parcourt R quand x parcourt R ...



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