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Equation fonctionnelle f(ab)=f(a)+f(b)

Posté par
Grinch3ux
19-04-21 à 20:06

Bonsoir à tous!
J'ai un exercice avec l'énoncé suivant:

On considère la fonction f définie pour tout réel strictement positif, dérivable en 1 et vérifiant : f(ab)= f(a) + f(b) ou a>0 et b>0.

J'ai déjà démontré que f(1) = 0, f(\frac {1} {a}) = -f(a) et f(\frac {a} {b}) = f(a) - f(b)

Et on me demande en transformant l'expression \frac {f(x+h) - f(x)} {h} de montrer que f est dérivable en tout réel x et vérifie f'(x) = \frac {f'(1)} {x}, et d'en déduire l'expression de f

En utilisant le résultat f(\frac {a} {b}) = f(a) - f(b) appliqué à \frac {f(x+h) - f(x)} {h}, je trouve \frac {f(\frac {x + h} {x})} {h}, ce qui quand h\to 0, m'amène à une forme indéterminée du type \frac {0} {0}, ce qui n'arrange pas vraiment mes affaires pour montrer que f(x) est dérivable en tout réel x et vérifie f'(x) = \frac {f'(1)} {x}...

Si quelqu'un a une piste vers la solution, je suis preneur!

Posté par
Aalex00
re : Equation fonctionnelle f(ab)=f(a)+f(b) 19-04-21 à 21:04

Salut, tu peux remarquer que
f'(b) = lim_{a->1} (f(ab)-f(b))/(ab-1)
En trifouillant un peu le membre de droite tu tomberas sur f'(1)/b.

Posté par
Aalex00
re : Equation fonctionnelle f(ab)=f(a)+f(b) 19-04-21 à 21:05

(ab-a) pas (ab-1), faute de frappe.

Posté par
Aalex00
re : Equation fonctionnelle f(ab)=f(a)+f(b) 19-04-21 à 21:06

(ab-b) je vais y arriver

Posté par
GBZM
re : Equation fonctionnelle f(ab)=f(a)+f(b) 19-04-21 à 21:07

Bonsoir,

\dfrac{f((x+h)/x)}{h}= \dfrac{1}{x}\times \dfrac{f(1+h/x)}{h/x}.

Ça va mieux comme ça ?



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