Niveau Oraux, olympiades...

équation incroyable

Posté par
Glapion 30-03-21 à 11:16

Bonjour, je ne résiste pas à partager avec vous la solution de cette équation originale posée lors des olympiades britanniques de mathématiques en 2002 :

trouver les solutions en nombres entiers de :

a! b ! = a! + b! + c!

Vous pouvez essayer de trouver mais comme c'est un peu long, si vous craquez en route, je vous mets un lien vers la solution :

Posté par re : équation incroyable 30-03-21 à 14:16

On peut réécrire l'équation ainsi : (a!-1)(b!-1) = c!+1
Mais après ?

On prend différentes valeurs de c, et on décompse c!+1 en produits de 2 entiers, tous 2 différents de 1 ???
c=4, on trouve a=b=3
Victoire , on a au moins une solution
c=5, 6 ou 7   : pas de solution

Si on raisonne modulo 5 par exemple, avec a , b et c tous les 3 plus grands que 5, a!-1 vaut -1 modulo 5, b!-1 aussi, et donc le produit vaut 1 modulo 5. Donc éventuellement, il y a un nombre c! tel que c!+1 = (a!-1)(b!-1)
Modulo 5 , il peut y avoir des solutions. Et c'est pareil modulo 3, 7 , 11, ... toutes les valeurs qu'on veut.
On ne peut donc pas conclure violemment  qu'il n'y aurait pas d'autre solution que (3,3,4).

Mon feeling est que c'est la seule solution, mais je n'en sais rien.

Posté par re : équation incroyable 31-03-21 à 08:58

Bonjour,

Vu le écarts entre ! je partage ton feeling..

Au passage on peut noter 3! x 4! =4!+5!

Posté par re : équation incroyable 31-03-21 à 10:31

ben regardez la vidéo, elle fait la démonstration que (3,3,4). est la seule solution.

Posté par re : équation incroyable 31-03-21 à 15:16

La vidéo est pleine d'astuces simples une fois dévoilées mais pas simple à trouver.
Indice pour ceux qui veulent un coup de pouce mais trouver par eux-mêmes: