C'est quand même un peu plus compliqué que cela.

D'abord on a un système de 3 équations et pas une équation.

Soit ce système:

x + y+ (1-m)z = m+2  (1)
(1+m)x -  y +  2z = 0  (2)
2x- my + 3z = m+2   (3)

(2) ->
y = 2z+(1+m)x  (4)

remis dans (1) et (2), il vient le système à 2 équations et 2 inconnues:

x(2+m) + z(3-m) = m+2
x(2-m-m²) + z(3-2m) = m+2

Soit:
x(2+m) + z(3-m) = m+2  (5)
-x(m-1)(m+2) + z(3-2m) = m+2  (6)

(5) -->
(2+m)x = m+2 - z(3-m)

Si m est différent de -2 -->
x = 1 - z(3-m)/(m+2)  (7)

On remet cela dans(6), et on a:

-(1 - z(3-m)/(m+2)).(m-1)(m+2) + z(3-2m) = m+2

-((m+2)-z(3-m))(m-1) + z(3-2m) = m+2

z(3-2m+3m-3-m²+m) = m+2+(m+2)(m-1)
z(-m²+2m) = (m+2)(1+m-1)
-z(m.(m-2)) = m.(m+2)

Si m est différent de 0 et de 2, on a:

z = (m+2)/(2-m)
remis dans (7) -->
Aprés simplification, on a
x = 1/(m-2)

et (4) -->
y = -(m+3)/(m-2)
---
Donc si (voir plus haut) m est différent de -2 , de 0 et de 2, alors les solutions du système sont:

x = 1/(m-2)
y = -(m+3)/(m-2)
z = (m+2)/(2-m)
---
Il reste donc à étudier les cas particiliers m = -2, m = 0 et m = 2

Cas m = 0

Le système devient:

x + y + z = 2  (1)
x - y +  2z = 0  (2)
2x + 3z = m+2   (3)

Si on fait la somme de (1) et (2) membre à membre, on retrouve (3).
Les équations ne sont pas indépendantes.

On retombe sur un système de 2 équations à 3 inconnues, par exemple:

x + y + z = 2  
2x + 3z = m+2  

On a donc 1 degré de liberté, on peut choisit librement une variable et à partir de cette valeur celculer les valeurs des 2 autres variables.

exemple, on choisit x = X er on calcule z = (2-2X)/3 et y = (4-X)/3

On a alors comme solution:

x = indéterminé
z = (2-2x)/3 et y = (4-x)/3
---
Cas m = -2

On a le système:

x + y + 3z = 0 (1)
-x -  y +  2z = 0  (2)
2x + 2y + 3z = 0   (3)

(1) + (2) --> z = 0
Il reste alors 2 fois la même équation:
x+y = 0

x est indéterminé et y est calculé à partir de x.

On  solution:
x = indéterminé
y = -x
z = 0
---
Cas m = 2

On a le système:

x + y- z = 4  (1)
3x -  y +  2z = 0  (2)
2x- 2y + 3z = 4   (3)

(1) + (3) -->

3x - y + 2z = 8
Ce qui est incompatible avec (2)
--> pas de solution.
-----
Sauf distraction (je n'ai rien relu).  

J'étais allé un peu vite sur le cas m=0 (en gros je m'étais planté dans une équation ). Mais ce que tu me dis c'est qu'il n'y a pas de recette magique? La seule manière de ne pas oublier de cas est d'être observateur et vigilant?

Merci de ton aide en tout cas.