Bonjour,
Une petite question : tu parles du nombre d'équations linéaires pour quel sous-espace ? C'est bien de im(f), n'est-ce pas ?

Bonjour
je parle d'une nombre d"equation definissant l'imf c'est a dire l'ensemble des f(x) tels que x appartient à l'ensemble de depart E

Pour l'image de f comme pour n'importe quel sous-espace G d'un espace vectoriel F de dimension finie,  tout système d'équations linéaires indépendantes définissant G se compose de dim(F) - dim(G) équations.
Je suppose que tu n'as pas encore vu la dualité en algèbre linéaire ? Alors on peut expliquer cela de la façon suivante. Un système de p équations linéaires, c'est une application linéaire sur F à valeurs dans k^p où k est le corps de base. L'indépendance des équations veut dire que l'image de cette application linéaire n'est contenue dans aucun hyperplan de k^p, autrement dit que cette application linéaire est surjective, de rang p. Le théorème du rang dit que le noyau de l'application linéaire, autrement dit le sous-espace des solutions de ce système de p équations linéaires indépendantes, a pour dimension dim(F) - p.