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equation matricielle
Bonjour
pourriez vous m'aider pour cette exo
on pose A_n={M dans M_n(Z) tq det(M)=1}
1/mq (A_n, x) est un groupe.
2/mq pour tout M de A_2 , Tr(M^4)=Tr(M)^4-4Tr(M)^2+2
3/ en deduire que P^4+Q^4=M^4 n'a pas de sol dans A_2
j'ai reussi 1/ et 2/ (en utilisant Tr(M) = a_1+a_2 et det(M)= a_1.a_2 , a_1 et a_2 les valeurs propres de M)
pour la 3/ j'ai des problemes , en prenant la trace et en utilisant la forme canonique , je trouve une équation diophantienne
(Tr(P)^4-2)^2 + (Tr(Q)^4-2)^2 = (Tr(M)^4-2) + 2
qui je l'espere me permettera de trouver une contradiction, c'est ici que je bloque.
merci.
Bonjour
il y a une petite faute de frappe dans l'expression c'est plutot
(Tr(P)^2-2)^2 + (Tr(Q)^2-2)^2 = (Tr(M)^2-2)^2 + 2
c'est vrai qu'avant de passer par la forme canonique , j'avais beaucoup de 4 et de 2 , et j'ai pense a mettre d'un cote de l'egalite un nombre impair et de l'autre un nombre pair pour la contradiction , mais je n'avais pas suffisament d'information sur la parite des differentes traces pour conclure. Prendre l'expression modulo l'une des traces et aussi une idee pour simplifier l'expression mais la encore il y a peut etre une relation entre les differentes traces que je n'ai pas remarque . Pourriez vous m'aider un peu plus ?
merci
Essaie avec ces modulos qui te semblent intéressants.
Histoire d'alléger, tu peux poser m=Trace(M), p=Trace(p), q=Trace(Q).
On devrait donc avoir
m⁴-4m²+2 = p⁴-4p²+2 + q⁴-4q²+2
Bonsoir
je ne vois toujours pas comment conclure , voici ce que j'ai essaye
m4 = p4+q4 [2]
m4 = p4+q4 +2 [4]
2=p4-4p2+q4-4q2 [m]
m4-4m2 = 2 +p2q2 [p2+q2 ]
chacune me permet de plus ou moins simplifier la formule initiale en ecrivant la definition de la congruence , mais je ne vois toujours pas comment conclure.
As-tu regardé ce que sont les puissances 4e modulo 4 ?
Quels renseignements en tires-tu sur m, p ?
Persévère !
Bonsoir
modulo 4 , on a 14 = 1[4]
24 = 0[4]
34 = 1[4]
en essayant tous les combinaisons de 1 et de 0 pour
m4 = p4+q4 +2 [4]
la seule qui marche est m4 = 0 , p4=1, q4 =1 [4]
ce qui donne pour m=2[4] , p=1 ou 3[4],et q=1 ou 3[4]
en les remplassant dans m4 = p4+q4[2] il n'y a pas de contradiction , parcontre je n'ose pas les remplacer directement dans la premiere formule , le calcul me parait trop lourd.
ce qui donne pour m=2[4] , p=1 ou 3[4],et q=1 ou 3[4]
Pas tout à fait pour m, tu oublies m=0 modulo 4. Autrement dit, m est pair, p et q sont impairs. C'est déjà un progrès, non ? Mais on n'y est pas encore.
Modulo 2 ne nous servait à rien, modulo 4 nous fait avancer, ne vois-tu pas l'étape suivante à essayer ?
Bonjour
je crois que c'est bon cette fois ci ,
modulo 8 on a (pair)4 = 0 [8]
(impair)4 = 1[8]
et on a m4=p4+q4+2[8]
donc 0=4[8] ce qui est absurde , je n'avais pas pense a prendre des modulos successifs pour accumuler des informations sur m,p,q , j'y penserai la prochaine fois.
merci a vous
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