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équation nb complexes

Posté par
Piafou 23-10-22 à 17:02

Re bonjour, voici un autre exercice provenant de la même fiche que celui avec le polynôme (cf deux messages plus bas).

J'ai trouvé la solution, mais manifestement pas avec la méthode attendue.

La question était :
En se servant des modules, résoudre dans C,  \bar{z}(z-1)=z²(\bar{z-1})

Or je n'ai pas du tout utilisé les modules.
Une fois vues les deux solutions évidentes 0 et 1, j'ai divisé le \bar{z} sous le \bar{z-1} et le z² sous le (z-1) puis j'ai posé le changt de var.  u = 1 - 1/z pour continuer.

Finalement, je suis arrivée à une équation du second degré en u, et en écrivant u = x + iy j'ai obtenu un système sympathique débouchant sur ces deux solutions : x=y=1  et x=1, y= -1.

D'où in fine 4 solutions à l'équation de l'énoncé :
0,1, 1+ i, 1 - i

Aucune idée de la méthode que le concepteur du sujet attendait.
Quelqu'un voit ? Merci !

Posté par
malou Webmasterre : équation nb complexes 23-10-22 à 17:09

Bonjour

tu es sûr de tes solutions ? ...tu as vérifié ?

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 17:10

euh oui, sur un coin de table. Pourquoi ?

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 17:12

ah au temps pour moi, j'ai recopié les valeurs trouvées pour u !

Les solutions en z sont 0,1,-i et i


Désolée !

Posté par
malou Webmasterre : équation nb complexes 23-10-22 à 17:51

Si 2 quantités sont égales alors leurs modules sont égaux...

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 17:54

certes certes, mais on démarre en partant de l'équation originale, ou après une transformation ? Je ne vois toujours pas le truc.

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 17:56

parce qu'en partant de l'originale, ça me donne module de z = 1.
Bon, z est dans U, mais après ??

Posté par
malou Webmasterre : équation nb complexes 23-10-22 à 18:05

Cela ne donne pas que module de z qui vaudrait 1
Tu as perdu des choses en route
Après il faudrait trouver autre chose pour ne prendre que ce qui est solution

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 18:15

je n'ai pas suivi, Malou...
Tu disais si... alors les modules sont égaux.


Je prends le module à gauche et à droite. Je suppose que les cas triviaux z=0 et z=1 sont écartés.

à gauche  module de z barre est égal à module de z à droite.
z non nul par hypo. donc division, il reste donc module de z à droite.

A gauche encore, module de (z-1) se divise avec module de (z-1) barre, car sont égaux, et j'ai supposé z différent de 1.


Reste à gauche 1, et à droite module de z.

Qu'ai-je oublié ?
Merci.

Posté par
malou Webmasterre : équation nb complexes 23-10-22 à 18:20

J'écarte ci, j'écarte ça...c'est nouveau ?

Donc 0 peut être solution OK
Après va falloir se creuser les méninges pour voir si on peut trouver les solutions à partir de là
....

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 18:22

je ne comprends vraiment pas Malou...vous ne connaissez pas le terme "écarter" ? Cela signifie qu'on traite les cas à part, tout simplement.

Ceci dit, je ne vois toujours pas en quoi l'étude d'un module donne des informations autres que...le module.

Donc quand vous dites qu'on obtiens autre chose que module de z égale 1 avec votre idée de départ, c'est incompréhensible pour moi. Vous ne voulez pas vous expliquer ?

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 18:24

Ou bien l'énoncé est incomplet et il faut ensuite voir les arguments... mais je trouve ma méthode plus directe, puisqu'elle ne procède pas par implication, mais par équivalence.

Posté par
malou Webmasterre : équation nb complexes 23-10-22 à 18:28

Je n'ai pas dit que ta méthode ne convenait pas !
C'est parce que tu dis qu'il faut utiliser les modules
....et j'ai donc regardé sur quoi ça débouchait ....
Quelqu'un aura peut-être une idée pour terminer...faut dire que je ne sais pas faire de maths sur téléphone

Posté par
Ulmierere : équation nb complexes 23-10-22 à 18:32

Si z est une solution, en multipliant par z(z-1), on trouve que |z|^2(z-1)^2 = z^3|z-1|^2. On passe au module et on en déduit que |z|^2|z-1|^2(1 - |z|) = 0 donc soit z = 0, soit z = 1, soit z est de module 1 mais pas égal à 1, donc d'argument principal \theta \in [0,2\pi).

Si z = e^{i\theta} est une solution ni égale à 0 ni égale à 1, on peut calculer \dfrac{e^{i\theta}-1}{|e^{i\theta}-1|} = e^{i\theta/2}\times \text{sgn}(\sin(\theta/2)) = e^{i\theta/2}. Il s'agit alors de trouver les \theta\in [0,2\pi) tels que e^{i\theta} = e^{3i\theta}. Il n'y a que \theta = \pi, i.e z = -1.



Alternativement, tu peux passer au conjugué plutôt qu'au module

z - \bar{z} = z-1-\bar{z-1}  \implies z^2 - |z|^2 = z(z-1) - z\bar{z-1} = z(z-1) - \bar{z}^2(z-1) = (z-\bar{z}^2)(z-1).

Alosr si z est de module 1 mais pas égal à 1, on trouve, en divisant par z-1, que z+1 = z - \bar{z}^2 et donc \bar{z} = -1 puis z = -1

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 18:35

c'est bien pour ça que je demandais de l'aide !
C'est un DM gratiné qu'a eu à faire un de mes élèves en PCSI (de cours particuliers) et j'ai spontanément fait ce que j'ai expliqué dans mon premier message, sans sourciller. Et après seulement, j'ai vu que je n'avais absolument pas utilisé la consigne, et je me suis dit "zut".

Merci pour ton idée sur les modules, moi je n'avais pas vu que ça se simplifiait jusqu'à donner facilement module de z égale 1, parce que j'avais flashé sur mes quotients comme je disais (lesquels m'ont obligée à traiter à part les deux cas triviaux 0 et 1) ... mais du coup, forcément la méthode du module seul, ça ne suffit pas pour trouver les solutions !

Je suppose que la consigne est incomplète, et qu'il aurait fallu écrire "penser à utiliser les modules d'ABORD".

Attendons voir si quelqu'un qui baigne dans la prépa (pas comme moi pour qui elle est très lointaine) a une autre idée !

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 18:38

ouah, Ulmière, c'est élégant ! Moralité, il y avait pas mal de méthodes différentes pour résoudre cette équation !
Merci !

Posté par
Ulmierere : équation nb complexes 23-10-22 à 18:42

Evidemment, l'argument \theta appartient à (0,2\pi). 0 est exclus si z \neq 1

Posté par
malou Webmasterre : équation nb complexes 23-10-22 à 18:48

Merci Ulmiere

Posté par
Ulmierere : équation nb complexes 23-10-22 à 18:51

Posté par
carpediemre : équation nb complexes 23-10-22 à 19:10

salut

franchement je ne comprends pas pourquoi compliquer ainsi ...

en passant au module on obtient simplement :

|z| |z - 1| = |z|^2 |z - 1| \iff |z| |z - 1| \left( |z| - 1 \right) = 0 \iff z = 0 $ ou $ z = 1 $ ou $ |z| = 1

et de même que malou je ne comprends pas ces "j'écarte ceci ou cela" ...

il nous reste donc à étudier le cas |z| = 1

\bar z (z - 1) = z^2 (\bar {z - 1}) \Longrightarrow z (\bar {z - 1}) = \bar z^2 (z - 1)

alors en soustrayant membre à membre on obtient (je note z* le conjugué pour simplifier) :

z^* (1 - z^*)(z - 1) = z(z - 1)(z - 1)^* \iff z^* |z - 1|^2 = - z |z - 1|^2 \iff |z - 1|^2(z + z^*) = 0 \iff z = 1 $ ou $ z \in i\R \iff z = 1 $ ou $ z = \pm i

Posté par
Ulmierere : équation nb complexes 23-10-22 à 19:16

Il y a une erreur dans mon calcul. La première a entrainé la deuxième dans me tête... parce que j'ai pas relu

Dans le calcul de e^{i\theta}-1/|e^{i\theta}-1|, il manque un i. Il faut donc résoudre e^{i(\theta+\pi)} = e^{3i\theta}, ce qui donne \theta = \pm\pi/2 et non =\pi comme je le disais.

Dans l'autre méthode, c'est z + 1 = z - \bar{z}^2 \implies \bar{z}^2 = {\red -}1 \implies \bar{z} = \pm i \implies z = \pm i

Posté par
Piafoure : équation nb complexes 23-10-22 à 20:59

"et de même que malou je ne comprends pas ces "j'écarte ceci ou cela""

Parce que dans ma résolution, j'ai divisé par z et par z-1,  pardi !

D'où le fait que j'ai traité ces deux cas à part, AVANT....

valà valà...


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