Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Equation partie entière

Posté par
Crei
27-11-22 à 22:27

Bonjour , je souhaite resoudre
\lfloor x^{2}+1\rfloor=\lfloor2x\rfloor

J'ai essayer d'exprimer en fonction de \lfloor x\rfloor=x-\left\{x \right\}mais je ne fais que tourner en boucle

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Equation partie entière 27-11-22 à 22:55

Bonsoir Crei


pour avoir une idée des solutions tu peux commencer par tracer dans un même repère les deux courbes y=2x et y=x^2+1

Posté par
miguelxg
re : Equation partie entière 27-11-22 à 22:58

salut

je te suggère de partir de la définition d'une partie entière

Posté par
miguelxg
re : Equation partie entière 27-11-22 à 22:58

oups, désolé, j'ai répondu en même temps :x (connexion lente...)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Equation partie entière 27-11-22 à 23:28

On peut effectivement voir les intervalles solution sur la figure et il ne reste plus qu'à le prouver

Equation partie entière

Posté par
Crei
re : Equation partie entière 28-11-22 à 10:05

J'avais un peu tatonner en testant 1 et phi mais le probleme reste toujour la preuve

Posté par
GBZM
re : Equation partie entière 28-11-22 à 10:17

Bonjour,
Tu peux commencer par réaliser que \lfloor a\rfloor =\lfloor b\rfloor entraîne |a-b|<1.
Ça permet de restreindre les possibilités à un petit intervalle sur lequel tu peux donner explicitement \lfloor x^2+1\rfloor et \lfloor 2x\rfloor.

Posté par
Crei
re : Equation partie entière 28-11-22 à 15:18

GBZM @ 28-11-2022 à 10:17

Bonjour,
Tu peux commencer par réaliser que \lfloor a\rfloor =\lfloor b\rfloor entraîne |a-b|<1.
Ça permet de restreindre les possibilités à un petit intervalle sur lequel tu peux donner explicitement \lfloor x^2+1\rfloor et \lfloor 2x\rfloor.



Bjr, j'ai avec
|x^2-2x+1|<1x]0,2[
On a \lfloor 2x\rfloor=2\lfloor x\rfloor+ \lfloor2\left\{x \right\}\rfloor
Et   \lfloor x^2\rfloor=\lfloor x\rfloor^2+\lfloor 2\left\{x \right\}\lfloor x\rfloor+\left\{x \right\}^2\rfloor

L'equation me donne
(\lfloor x\rfloor^2-1)^2=\lfloor2 \left\{x \right\}\rfloor-\lfloor 2\left\{x \right\}\lfloor x\rfloor+\left\{x \right\}^2\rfloor

Posté par
GBZM
re : Equation partie entière 28-11-22 à 15:23

Peux-tu donner explicitement les valeurs de \lfloor x^2+1\rfloor et \lfloor 2x\rfloor sur ]0,2[ ?

Posté par
Crei
re : Equation partie entière 28-11-22 à 16:31

Si x]0 ; 1[   on a [ x2]=0
___Si x]0; 1/2[ , [2x]= 0
___Si x]1/2;1[, [2x]=1
Dans la suite je comprend plus

Posté par
GBZM
re : Equation partie entière 28-11-22 à 16:41

On parle de \lfloor x^2+1\rfloor et pas de \lfloor x^2\rfloor. On parle aussi de ]0,2[ et pas de ]0,1[.
Et dans ce que tu as écrit, tu as oublié de parler de la valeur de \lfloor 2x\rfloor en 1/2.

Peux-tu faire un tableau des valeurs prises par \lfloor x^2+1\rfloor et par \lfloor 2x\rfloor sur ]0,2[ ? Ça te permettra d'établir quels sont les intervalles sur lesquels \lfloor x^2+1\rfloor=\lfloor 2x\rfloor .

Posté par
Crei
re : Equation partie entière 28-11-22 à 16:49

GBZM @ 28-11-2022 à 16:41

On parle de \lfloor x^2+1\rfloor et pas de \lfloor x^2\rfloor. On parle aussi de ]0,2[ et pas de ]0,1[.
Et dans ce que tu as écrit, tu as oublié de parler de la valeur de \lfloor 2x\rfloor en 1/2.

Peux-tu faire un tableau des valeurs prises par \lfloor x^2+1\rfloor et par \lfloor 2x\rfloor sur ]0,2[ ? Ça te permettra d'établir quels sont les intervalles sur lesquels \lfloor x^2+1\rfloor=\lfloor 2x\rfloor .

En fait j'ai separer les intervalles et comme si je connais [x^2] je peux trouver l'autre .
D'accord je tente le tableau

Posté par
Crei
re : Equation partie entière 28-11-22 à 16:51

Crei @ 28-11-2022 à 16:31


Dans la suite je comprend plus

Je veux parler de l'intervalle de 1 à 2 , je n'arrive pas à separer en de petit intervalles pour pouvoir avoir la partie entière de x^2

Posté par
GBZM
re : Equation partie entière 28-11-22 à 16:57

Je répète que c'est la partie entière de x^2+1 qui nous intéresse.
Je suis très surpris que tu ne voies pas les valeurs prises par la partie entière de x^2+1 quand x varie de 1 à 2. Je te rappelle que la partie entière d'un réel r est l'entier n tel que n\leq r<n+1.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Equation partie entière 28-11-22 à 17:13

On peut voir (en s'aidant du graphe ci-dessus) que :


\Large\boxed{\ast} Pour x<\frac{1}{2} on a \lfloor2x\rfloor\leqslant2x<1 et x^2+1\geqslant1 et donc \lfloor2x\rfloor\leqslant0 et \lfloor x^2+1\rfloor\geqslant1.


\Large\boxed{\ast} Pour \frac{1}{2}\leqslant x<1 on a 1\leqslant2x<2 et \frac{5}{4}\leqslant x^2+1<2 et donc \lfloor2x\rfloor=\lfloor x^2+1\rfloor=1.


\Large\boxed{\ast} Pour 1\leqslant x<\sqrt2 on a 2\leqslant2x<2\sqrt2 et 2\leqslant x^2+1<3 et donc \lfloor2x\rfloor=\lfloor x^2+1\rfloor=2.


\Large\boxed{\ast} Pour \sqrt2\leqslant x<\frac{3}{2} on a 2\sqrt2\leqslant2x<3 et 3\leqslant x^2+1<\frac{13}{4} et donc \lfloor2x\rfloor=2 et \lfloor x^2+1\rfloor=3.


\Large\boxed{\ast} Pour \frac{3}{2}\leqslant x<\sqrt3 on a 3\leqslant2x<2\sqrt3 et \frac{13}{4}\leqslant x^2+1<4 et donc \lfloor2x\rfloor=\lfloor x^2+1\rfloor=3.


\Large\boxed{\ast} Pour \sqrt3\leqslant x<2 on a 2\sqrt3\leqslant2x<4 et 4\leqslant x^2+1<5 et donc \lfloor2x\rfloor=3 et \lfloor x^2+1\rfloor=4.


\Large\boxed{\ast} Pour x\geqslant2 on a x^2+1\geqslant2x+1 et donc \lfloor x^2+1\rfloor\geqslant\lfloor2x\rfloor+1>\lfloor2x\rfloor.


On conclut que l'ensemble solution de L'équation \lfloor x^2+1\rfloor=\lfloor2x\rfloor est \Large\boxed{S=[\frac{1}{2},\sqrt2[\cup[\frac{3}{2},\sqrt3[} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
GBZM
re : Equation partie entière 28-11-22 à 17:16

Je trouve dévalorisant pour Crel d'agir comme s'il était incapable de trouver la réponse et de la donner à sa place.

Posté par
Crei
re : Equation partie entière 28-11-22 à 17:39

GBZM @ 28-11-2022 à 17:16

Je trouve dévalorisant pour Crel d'agir comme s'il était incapable de trouver la réponse et de la donner à sa place.

Merci quand même

Posté par
malou Webmaster
re : Equation partie entière 28-11-22 à 19:02

Bonjour à tous

GBZM @ 28-11-2022 à 17:16

Je trouve dévalorisant pour Crel d'agir comme s'il était incapable de trouver la réponse et de la donner à sa place.


elhor_abdelali, ça aurait été sympa d'attendre un peu pour donner la solution, GBZM était présent et guidait Crei.
Que tu donnes une solution car sinon le sujet n'est jamais résolu, ok,
mais pas dans le feu de l'action ...d'accord ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Equation partie entière 28-11-22 à 21:46

OK c'est noté

En fait je m'attendais à ce que Crei exploite la représentation graphique pour déterminer les intervalles convenables à la résolution !

Posté par
carpediem
re : Equation partie entière 30-11-22 à 13:05

salut

plus naïvement : soit x = e + f où e et f sont les parties entière et fractionnaire de x donc e = E(x) et 0 f < 1

tout d'abord remarquons que x^2 + 1 \ge 1 \Longrightarrow E(x^2 + 1) \ge 1   (par croissance de la fonction partie entière)

la définition de la partie entière implique donc qu'une solution est positive ... et même strictement positive (puisque 0 n'est évidemment pas solution)


ensuite      x^2 + 1 = e^2 + 2ef + f^2 + 1 $ donc $ E(x^2 + 1) = e^2 + 1 + E(2ef + f^2)

et       2x = 2e + 2f $ donc $ E(2x) = 2e + E(2f)

donc     E(x^2 + 1) = E(2x) \iff 0 \le (e - 1)^2 = E(2f) - E(2ef + f^2) \Longrightarrow e = E(x) \in ...

ensuite il suffit de travailler par disjonction de cas comme il est suggéré plus haut ...

Posté par
jsvdb
re : Equation partie entière 30-11-22 à 14:47

Bonjour
On peut voir aussi qu'une équation E(x²+1) = E(2x) est en fait une famille de double équation :

E(x²+1) = n (1)

E(2x) = n (2)

pour n\in \Z.

Si n < 1, il n'y a clairement pas de solutions en x et donc les solutions en x sont à chercher dans R+*

Du coup, compte-tenu des contraintes n \geq 1 et x>0, il vient :

(1) équivaut à \sqrt{n-1} \leq x <\red \sqrt n

(2) équivaut à {\red \frac{n}{2}} \leq x < \frac{n+1}{2}

Par ailleurs l'équation  \sqrt n < \frac{n}{2} n'a de solution que pour n = 1,2 et 3.

Il ne reste plus qu'à expliciter ces solutions par intersection d'intervalles non vides.

Posté par
jsvdb
re : Equation partie entière 30-11-22 à 14:50

jsvdb @ 30-11-2022 à 14:47

Par ailleurs l'équation  \red \sqrt n < \frac{n}{2} n'a de solution que pour n = 1,2 et 3.


Évidemment il faut lire :

Par ailleurs l'équation  \blue \frac{n}{2} < \sqrt n n'a de solution que pour n = 1,2 et 3.

Posté par
GBZM
re : Equation partie entière 30-11-22 à 14:53

Franchement, carpediem, trouves-tu que c'est plus "naïf" que de remarquer que \lfloor x^2+1\rfloor = \lfloor 2x\rfloor entraîne 1> |x^2+1-2x|=(x-1)^2, d'où 0<x<2 ; et ensuite, faire le tableau :
\large \begin{array}{c|ccccccccccccc} x&0&&1/2&&1&&\sqrt2&&3/2&&\sqrt3&&2\\\hline \lfloor2x\rfloor&&0&1&1&2&2&2&2&3&3&3&3& \\\lfloor x^2+1\rfloor&&1&1&1&2&2&3&3&3&3&4&4& \end{array}

Posté par
carpediem
re : Equation partie entière 30-11-22 à 15:19

non bien sûr avec ta propriété de 10h17 .. ou en tout cas c'est bien plus efficace et immédiat !

mais c'était pour répondre au demandeur :

Crei @ 27-11-2022 à 22:27

J'ai essayer d'exprimer en fonction de \lfloor x\rfloor=x-\left\{x \right\}mais je ne fais que tourner en boucle




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1580 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !