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Niveau Licence-pas de math
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Équation plan tangent + Équation cône droit

Posté par
Psri
22-09-19 à 20:55

Bonjour,
Je bloque sur cette exercice, pouvez-vous m'aidez s'il vous plaît ?

Exercice:
1. Donner les équations cartésiennes des plans tangents à la sphère de centre O et de rayon R.
2. Même question pour le cylindre droit d'axe Oz et de base un cercle de centre O et de rayon R.
3. Déterminer une équation cartésienne d'un cône droit de sommet O et de demi angle au sommet . Déterminer des équations cartésiennes des plans tangents à ce cône.

Ce que j'ai fait:
1. J'ai dit que la tangente à la sphère était au point M (x', y', z'), et j'ai trouvé cette équation : x'x + y'y + z'z = R2.

2. Je sais pas du tout comment faire, mais je sais que l'équation d'un cylindre est x2 +y2 = R2.

3. Comme équation cartésienne du cône j'ai trouvé : x2 + y2 = R2(tan())2. Le reste je vois pas comment faire.


Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
larrech
re : Équation plan tangent + Équation cône droit 22-09-19 à 21:24

Bonjour,

La normale en un point d'une surface d'équation cartésienne f(x,y,z)=0 est dirigée par \vec{n}(f'_x, f'y, f'z).

Il suffit d'écrire que ce vecteur est normal au plan tangent en un point  de la surface, pour obtenir une équation cartésienne de ce dernier.

Attention, l'équation du cône est fausse.

Posté par
Priam
re : Équation plan tangent + Équation cône droit 22-09-19 à 21:28

1. Equation exacte (je présume que tu l'as obtenue en annulant un produit scalaire).
2. Tu peux utiliser la même méthode pour déterminer l'équation d'une tangente au cercle de base du cylindre, obtenant du même coup l'équation d'un plan tangent au cylindre.

Posté par
Psri
re : Équation plan tangent + Équation cône droit 28-09-19 à 17:13

Bonjour merci pour vos réponse,

Pour le cylindre j'ai dit que c'était une surface S d'équation f(x,y)= x2 +y2 -R2 = 0. Puis j'ai défini un vecteur \vec{n} = \left(\frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y}\right) = (2x, 2y).

\vec{n} est normale à S au point M (x' , y'), donc l'équation du plan tangent à S en M est : (x-x')2x + (y-y')2y  = 0 xx'+ yy'= R2.
C'est correct ?

3. L'exercice du cône on l'a corrigé en classe, donc j'ai la réponse.
(En effet l'équation était fausse, la bonne étant x2 + y2 =z2tan2()

Posté par
larrech
re : Équation plan tangent + Équation cône droit 28-09-19 à 21:16

Bonsoir,

Même si le z n'apparaît pas, il aurait fallu mettre f(x,y,z) pour indiquer qu'on travaille dans l'espace . Sinon, c'est ça, c'est l'équation d'un plan parallèle à Oz



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