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equation polynomiale

Posté par
Yosh2
19-02-21 à 14:23

bonjour
on me demande de determiner les polynomes tq (X+3)P(X) = XP(X+1)
je trouve P(0) = 0
ensuite si a est une racine non nul de P alors a+1 est aussi une racine de P , par itteration
les racines de P sont de la forme a+k avec k entiers donc P admet une infinite de racines puis P=0.
cependant supposer l'existence de a n'est totalement justifie , je sais que d'apres le theoreme d'alembert gauss , un polynome non constant admet au moins une racine complexe ,  et je sais aussi que le nombre de racine d'un polynome ne peut pas depasser son degre , cependant dans quel cas a t on une egalite ? est ce le cas lorqu'on travaille dans C?

Posté par
Zormuche
re : equation polynomiale 19-02-21 à 14:48

Bonjour
Si je ne dis pas de bêtise, on peut montrer facilement que 4 est racine de P. Après ça, c'est fini

Posté par
Camélia Correcteur
re : equation polynomiale 19-02-21 à 14:48

Bonjour

Regarde ce qui se passe pour x=-3.
Le polynôme P(X)=X^n n'a aucune racine non nulle, ni dans \C, ni dans \R.

Posté par
Zormuche
re : equation polynomiale 19-02-21 à 14:49

Non, je dis n'importe quoi, c'est -2 et pas 4, donc ça n'avance pas tant que ça car on n'a pas une infinité de racines

Posté par
perroquet
re : equation polynomiale 19-02-21 à 15:03

Bonjour, Yosh2.

Il y a d'autres solutions que le polynôme nul, par exemple   P=X(X+1)(X+2).

Voici où se situe la faute dans ton raisonnement:
si a est une racine non nulle de P, il est possible que a+k ne soit pas une racine de P, par exemple lorsque a=-1 ou a=-2.

Maintenant, une indication pour terminer l'exercice:
tu as montré que 0 est une racine de P, il n'est pas difficile de montrer que -1 et -2 sont aussi racines de P. Ensuite, utilise le fait que P=X(X+1)(X+2)Q ...

Posté par
perroquet
re : equation polynomiale 19-02-21 à 15:11

J'ai oublié de vérifier qu'il n'y avait pas eu de réponse pendant que je rédigeais mon post.
Bonjour,  Camélia et Zormuche   .

Posté par
Camélia Correcteur
re : equation polynomiale 19-02-21 à 15:17

Bonjour perroquet, ça fait plaisir de te croiser!

Posté par
Yosh2
re : equation polynomiale 19-02-21 à 18:07

bonjour
en partant de P(X) = X(X+1)(X+2)Q(X)
je trouve XP(X+1) = (X+1)(X+2)(X+3)Q(X+1)
puis en utilisant le relation de l'enonce je trouve Q(x)=Q(x+1)
en considerant le polynome A(x) = Q(x)-Q(x+1) ce dernier possed une infinite de racines donc est nul puis Q(x) est constant ainsi P(x) = X(X+1)(X+2)C avec C constante,
sinon pour ma question sur le nombre de racines, j'avais l'habitude de me representer les racines comme les intersections avec l'axe des abscisses , mais ce n'est plus faisable dans C
du coup le theoreme d'alembert gauss affirment qu'un polynome de degre n possede n racines dans C , comptes avec leur multiplicite c'est ca ? dans votre exemple Xn ce polynome possede bien n racines c'est juste quels sont toutes confondus ?
merci a vous

Posté par
Zormuche
re : equation polynomiale 19-02-21 à 23:33

les racines du polynôme X^n sont les n complexes :  \left\{\exp\left(i\dfrac{2 k \pi}{n}}\right),\quad 1\le k \le n\right\}

Posté par
Zormuche
re : equation polynomiale 19-02-21 à 23:35

Oups n'importe quoi, ça c'est les racines de X^n-1

les racines de X^n  c'est juste 0 de multiplicité n, puisque le polynôme est déjà "factorisé" ça se voit tout de suite

Posté par
DOMOREA
equation polynomiale 20-02-21 à 08:53

bonjour,
je suppose que P\in\mathbb{R}[X]
Supposons P non nul, il ne peut pas non plus être constant non nul d'après la relation, alors il possède un nombre fini de racines réelles .

Soit x_n la plus grande racine, pour x>x_n, on peut écrire \frac{p(x)}{P(x+1)}=\frac{x}{x+3} dont la limite est 1 quand  x tend vers l'infini.
C'est manifestement impossible pour un polynôme non constant donc si P\in\mathbb{R}[X] alors P=0

Posté par
DOMOREA
equation polynomiale 20-02-21 à 11:16

Si on pouvait effacer son post ce serait bien
j'ai dit n'importe quoi, je devais penser à autre chose !!

Posté par
Razes
re : equation polynomiale 21-02-21 à 16:50

Bonjour,

@Yosh2, ton calcul en utilisant le polynome Q (X) proposé par perroquet est bon. Tu n'as pas besoin de chercher plus loin.

Autre façon de faire est de poser: P (X)=\sum_{k=0}^{n}a_nX^n, mais c'est plus laborieux.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : equation polynomiale 22-02-21 à 08:38

Bonjour,
Une petite question :
Dans le message du 19 à 18h07, est utilisé ceci :
Si Q(X+1) = Q(X) alors Q(X) est constant.
Y a -t-il une manière simple de le démontrer ?
Je ne vois que le fait que les seules fonctions polynômes bornées sont les fonctions constantes.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : equation polynomiale 22-02-21 à 08:42

Finalement, j'ai trouvé plus simple :
Q(X)-Q(0) a une infinité de racines.

Posté par
Yosh2
re : equation polynomiale 22-02-21 à 11:31

bonjour
en effet c'est exactement le principe de la demonstration que j'ai utilise en considerant le polynome A(x) = Q(x)-Q(x+1).



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