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equation polynomiale
bonjour
on me demande de determiner les polynomes tq (X+3)P(X) = XP(X+1)
je trouve P(0) = 0
ensuite si a est une racine non nul de P alors a+1 est aussi une racine de P , par itteration
les racines de P sont de la forme a+k avec k entiers donc P admet une infinite de racines puis P=0.
cependant supposer l'existence de a n'est totalement justifie , je sais que d'apres le theoreme d'alembert gauss , un polynome non constant admet au moins une racine complexe , et je sais aussi que le nombre de racine d'un polynome ne peut pas depasser son degre , cependant dans quel cas a t on une egalite ? est ce le cas lorqu'on travaille dans C?
Bonjour
Si je ne dis pas de bêtise, on peut montrer facilement que 4 est racine de P. Après ça, c'est fini
Bonjour
Regarde ce qui se passe pour x=-3.
Le polynôme n'a aucune racine non nulle, ni dans
, ni dans
.
Non, je dis n'importe quoi, c'est -2 et pas 4, donc ça n'avance pas tant que ça car on n'a pas une infinité de racines
Bonjour, Yosh2.
Il y a d'autres solutions que le polynôme nul, par exemple .
Voici où se situe la faute dans ton raisonnement:
si est une racine non nulle de
, il est possible que
ne soit pas une racine de
, par exemple lorsque
ou
.
Maintenant, une indication pour terminer l'exercice:
tu as montré que 0 est une racine de , il n'est pas difficile de montrer que -1 et -2 sont aussi racines de
. Ensuite, utilise le fait que
...
J'ai oublié de vérifier qu'il n'y avait pas eu de réponse pendant que je rédigeais mon post.
Bonjour, Camélia et Zormuche 
.
bonjour
en partant de P(X) = X(X+1)(X+2)Q(X)
je trouve XP(X+1) = (X+1)(X+2)(X+3)Q(X+1)
puis en utilisant le relation de l'enonce je trouve Q(x)=Q(x+1)
en considerant le polynome A(x) = Q(x)-Q(x+1) ce dernier possed une infinite de racines donc est nul puis Q(x) est constant ainsi P(x) = X(X+1)(X+2)C avec C constante,
sinon pour ma question sur le nombre de racines, j'avais l'habitude de me representer les racines comme les intersections avec l'axe des abscisses , mais ce n'est plus faisable dans C
du coup le theoreme d'alembert gauss affirment qu'un polynome de degre n possede n racines dans C , comptes avec leur multiplicite c'est ca ? dans votre exemple Xn ce polynome possede bien n racines c'est juste quels sont toutes confondus ?
merci a vous
Oups n'importe quoi, ça c'est les racines de
les racines de c'est juste 0 de multiplicité n, puisque le polynôme est déjà "factorisé" ça se voit tout de suite
bonjour,
je suppose que
Supposons P non nul, il ne peut pas non plus être constant non nul d'après la relation, alors il possède un nombre fini de racines réelles .
Soit la plus grande racine, pour
, on peut écrire
dont la limite est 1 quand x tend vers l'infini.
C'est manifestement impossible pour un polynôme non constant donc si alors P=0
Si on pouvait effacer son post ce serait bien
j'ai dit n'importe quoi, je devais penser à autre chose !!
Bonjour,
@Yosh2, ton calcul en utilisant le polynome proposé par perroquet est bon. Tu n'as pas besoin de chercher plus loin.
Autre façon de faire est de poser: , mais c'est plus laborieux.
Bonjour,
Une petite question :
Dans le message du 19 à 18h07, est utilisé ceci :
Si Q(X+1) = Q(X) alors Q(X) est constant.
Y a -t-il une manière simple de le démontrer ?
Je ne vois que le fait que les seules fonctions polynômes bornées sont les fonctions constantes.
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